PDF-версии: 
Решите неравенство 
Решение. 1. При 
: 
2. При 
: 
3. При 
: 
Ответ: при 
: 
при 
: 
при 
: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но решение недостаточно обосновано | 3 |
| Ход решения верный, но в решении допущена ОДНА ошибка | 2 |
| Ход решения верный, но допущено более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных критериев | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: при : при : при :
: при : при : 5209
при : при : при :
: при : при : 
имеет единственное решение?
пересекает график функции 
в единственной точке (см. рис. 1 и рис. 2). Искомые значения параметра: 
тогда
решений нет, при 
— одно решение, при 
и при 
— два решения, при 
— три решения, при 
и при 
— четыре решения.
и 
: решений нет;
: 
: 
: 
: 
: 
эквивалентно двойному неравенству 
В нашем случае после преобразований приходим к системе неравенств
множество точек, координаты которых удовлетворяют полученной системе. При конкретном значении параметра 
решением нашего неравенства будут абсциссы тех точек горизонтальной прямой 
которые находятся в заштрихованной области. Найдем точки пересечения парабол: 
парабол и вершину 
параболы 
решений нет, т. к. горизонтальная прямая не пересекается с заштрихованной областью. При 
решением является число 2.
то горизонтальная прямая пересекается с заштрихованной областью по отрезку. Концами этого отрезка будут точки с абсциссами 
(больший корень уравнения 
или 
) и 
(больший корень уравнения 
или 
).
то горизонтальная прямая, соответствующая таким a, пересекается с заштрихованной областью по двум отрезкам. Решением неравенства будут отрезки:
и 
то 
если 
если 
то 
если 
и 
все точки, удовлетворяющие данным системам. Для этого найдем точки A и B — точки пересечения каждой параболы с прямой 
и вершину первой параболы — точку C, вершина другой параболы совпала с точкой B. Затем от каждой параболы оставим ее часть, расположенную в нужной полуплоскости относительно прямой 
то уравнение имеет два решения: действительно, горизонтальная прямая, соответствующая этим значениям параметра, пересекает график дважды. Если 
или 
решение единственное. Для остальных значений параметра a уравнение не имеет решений.
два решения; при 
одно решение, при прочих а решений нет.
имеет один корень?
и 
Ее график состоит из частей двух парабол: если 
то 
если 
то 
Значит, что если 
то функция 
возрастает при 
и 
и убывает на отрезке 
При 
и 
и убывает на отрезке 
имело единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы 
и 
были одного знака т. е. 
Отсюда получаем неравенство для a:
Если 
то 
(другой корень положителен).
В каждой из этих четырех точек левая часть неравенства меняет знак. При 
первый множитель положителен, второй отрицателен, то есть 
имеет ровно два решения.
второе уравнение системы, а значит, и вся система решений не имеет. При 
получаем:
система имеет четыре решения (координаты точек A, B, C и D), а при 
― два решения (координаты точек M и N).
имеет единственное решение.
задаёт пару пересекающихся прямых 
и 
то есть лучи BD и CE, включая точки B и С, см. рис. 
задаёт прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через точку 
Следует найти все значения a, при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и CE.
Поэтому при 
есть только одна точка пересечения — точка B.
Поэтому при 
прямая m пересекает луч BD, но не пересекает луч CE, то есть условие задачи выполнено.
прямая m пересечет только луч CE, а при 
она не пересечёт ни луч BD, ни луч CE.
при 
при 
: 
было верно для всех x.
и 
исходное уравнение равносильно уравнению
и 
Учитывая ограничения, получаем корни 
при 
и 
при 
Если 
(дискриминант уравнения равен нулю), то 
то значения параметра a, при которых существует один из корней, не совпадает со значениями параметра, при которых не существует второй корень. Последнее означает, что уравнение будет иметь в области допустимых значений корень 
при 
корень 
при 
и корень 
при 
то 
если 
то 
если 
при прочих а 
Для того чтобы найденные значения переменной были корнями исходного уравнения, они должны удовлетворять условиям 
Если 
т. е. 
то 
Следовательно, при 
число 
не является корнем данного уравнения. Здесь важно не сделать ошибочный вывод, что при 
является корнем исходного уравнения.
т. е. 
то 
Отсюда: при 
― не корень, а 
― корень данного уравнения.
то 
и 
то 
или 
содержит отрезок 
Отрезок 
содержится в множестве значений данной функции тогда и только тогда, когда уравнения 
и 
имеют решения.
имеет решение при любом 
имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:
является некоторый луч.
знаменатель исходной дроби имеет корни a и 
Если числа 2, a и 
попарно различны, то искомое множество ― объединение двух промежутков, а не луч. Значит, для того, чтобы множеством решений неравенства являлся луч, необходимо, чтобы из трех чисел 2, a и 
то множеством решений данного неравенства также является не луч, а объединение двух промежутков: 
то 
содержится в некотором отрезке длиной 7 и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 4.
получим неравенство 
равносильное исходному, так как 
не является решением ни одного из них и 
методом интервалов.
Промежуток (а; 0) должен содержаться в некотором отрезке длиной 7 и при этом содержать какой-нибудь отрезок длиной 4, откуда 
Учитывая 
то 
Длина промежутка 
меньше 4, что не удовлетворяет условию.
то 
Промежуток 
не содержит ни одного отрезка длиной 4.
то 
Промежуток 
откуда 
С другой стороны, все решения должны содержаться в отрезке длины 7. Поэтому 
что противоречит тому, что 
имеет ровно два положительных корня?
уравнение не имеет положительных корней, так как его левая часть неположительна, а правая положительна.Определим, для каких положительных a графики функции 
и 
имеют ровно две точки пересечения на области 
График функции 
вертикальная ― 
При всех положительных значениях параметра уравнение имеет положительный корень, больший числа 4 (см. рис.). Чтобы уравнение имело ровно два положительных решения, значения параметра должны обеспечивать существование ровно одного второго корня на промежутке (0; 4). Заметим, что на этом промежутке 
и гиперболы:
Итак, касанию соответствует 
при этом абсцисса точки касания положительна: 
и при 
уравнение имеет ровно два положительных решения.
не имеет решений.
Если 
то решение неравенства ― луч 
Если 
то решение неравенства ― луч 
При 
первое неравенство системы принимает вид
нет во множестве решений второго неравенства. Для того, чтобы система не имела решений, при 
при 
: 
: 
при 
: 
имеет единственное решение?
имеет с графиком функции 
единственную общую точку, т. е. при 
или в случае касания. Преобразуем уравнение:
равен нулю, откуда 
и при 
имеет на 
единственное решение.
или 
или 
имеет ровно два решения.
и рассмотрим функцию 
Её область определения задаётся неравенствами 
функция f убывает, принимая все значения из луча 
На луче 
функция f возрастает, принимая все значения из луча 
Тем самым, уравнение имеет ровно 2 решения при 
т. е. при 
существует хотя бы одно число x, не удовлетворяющее неравенству 
определяет на плоскости Oxa полосу, заключённую между прямыми 
Неравенство 
задаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой.
имеет решение.
тогда
— два решения, при 
тогда
— решений нет;
— решений нет;
— два решения, при 
тогда уравнение 
имеет решение, а уравнение 
— не имеет решений; 
тогда уравнение 
но уравнения 
что возможно при 
выполняется при любом значении параметра a?
имеем:
имеем верное для всех значений параметра уравнение
или 
: 
: 
: 
является объединением двух непересекающихся интервалов.
и 
: 
имеет единственное решение.
тоже его решение. Поскольку уравнение имеет единственное решение, это решение 
что возможно, если
имеет единственное решение?
— решение исходной системы, то 
— также решение этой системы. Следовательно, для существования у рассматриваемой системы единственного решения, необходимо, чтобы 
то 
ибо при 
имеем 
и 
не определено.
(
), 
имеет единственное решение?
— не удовлетворяет условию 
имеем:
— не удовлетворяет условию 
имеем либо 
при этом 
что невозможно; либо 
что даёт
имеет единственное решение?
имеем:
справедливо неравенство 
С другой стороны, 
А тогда из неравенств 
и 
следует, что исходное уравнение равносильно системе:
не имеет корней?
Тогда исходное уравнение не имеет корней, если уравнение 
не имеет корней на отрезке 
график 
не пересекает отрезок 
в четырёх случаях.
Имеем:
― решений нет.
не имеет действительных решений.
тогда 
и уравнение принимает вид
Для функции 
уравнение принимает вид 
Производная 
положительна при всех t. Следовательно, функция 
равносильно уравнению 
откуда 
имеет на промежутке 
единственный корень.
Исходное уравнение примет вид 
единственный корень при 
откуда 
Подставив 
в неравенство 
получим: 
откуда 
имеет на промежутке 
при 
и не имеет на промежутке 
и при 
Исходное уравнение примет вид
Подставив 
в неравенство 
получим: 
откуда 
при условии 
имеет на промежутке 
и не имеет на промежутке 
имеет единственный корень 
имеет два различных корня 
имеет хотя бы одно решение.
Она является суммой двух возрастающих функций и поэтому возрастает. Исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда 
откуда получаем
принимает значения от −1 до 1, а функция 
монотонно возрастает на отрезке 
и принимает на нём значения от −4 до 2. Значит, уравнение 
а с ним и исходное уравнение имеют решение при 
и 
равносильны?
с центром в начале координат. Уравнение 
равносильно бесконечной совокупности уравнений 
соответствующей 
в первой системе. Для этого необходимо и достаточно, чтобы ее радиус был меньше, чем расстояние от начала координат до прямой 
т. е. чем число 
или 
Учитывая полученные ранее значения 
и 
и, значит, 
левая часть второго уравнения системы не меньше, чем 1. Так как его правая часть не больше 1, оно равносильно системе
Так как 
тоже целое число и из равенства 
получаем, что это нечетное число, делящее число 2. Такими числами являются 1 и –1. 
при 
равно 
имеет хотя бы одно решение. Имеем:
— квадратному уравнению относительно 
Поскольку множество значений функции 
есть множество действительных чисел, данное уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда имеет решения соответствующее квадратное уравнение, т. е. когда его дискриминант неотрицателен. Тогда 
откуда 
или 
и 
каждое из которых принадлежит отрезку 
может равняться натуральному числу a в том и только в том случае, если 
и 
при прочих а: 
имеет хотя бы одну точку максимума.
представляет собой параболу, ветви которой направлены верх, абсцисса вершины 
При 
график представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой 
Причём она является таковой тогда и только тогда, когда 
пересекает ось абсцисс менее чем в трех различных точках.
пересекает ось абсцисс в двух или менее точках, если уравнение 
имеет менее трёх различных корней.
или 
то 
и 
то 
и 
состоит из двух лучей и дуги параболы. На рисунке видно, что уравнение 
есть ровно одно целое число.
при любом a имеет решение 
Значит, при любом a одно из значений функции равно 1.
касательные в которых к этому графику параллельны прямой 
тогда и только тогда, когда 
то нужно найти такие значения a, при которых уравнение 
имеет два решения. Таким образом, искомые значения параметра a ― это экстремальные значения функции 
не пересекается с промежутком 
Очевидно, что 
Полученный промежуток не должен иметь общих точек с лучом 
Отсюда 
т. е. 
имеет единственное решение?
при 
и 
соответственно. Тогда 
Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, а правая неположительна, обе они должны принимать значение нуль в одной общей точке. Следовательно, 
это число лежит в области определения функции 
на отрезке 
достигается на левом конце?
― точка минимума (в случае 
требуемое в условии выполнено). Поэтому наименьшее на отрезке 
если 
т. е. если точка минимума лежит левее единицы.
имеет максимум в точке 
достигаются в точках вида 
Чтобы у исходной функции достигался максимум в точке 
должно существовать такое целое число n, что 
наибольшее отрицательное. Это число –150, получающиеся при 
так как если 
то 
а при 
верно неравенство 
формула Кардано дает:
уравнение приводится к уравнению 
единственным корнем которого является 
Следовательно, 
