РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 25 № 5263 Добавить в вариант

При каких значениях а системы уравнении $система выражений новая строка синус левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка =0, новая строка x в квадрате плюс y в квадрате =a конец системы .$ и $система выражений новая строка x минус y=0, новая строка x в квадрате плюс y в квадрате =a конец системы .$ равносильны?

Спрятать решение

Решение.

При $a меньше 0$ ни одна из систем не имеет решений и, следовательно, они равносильны. При $a=0$ второе уравнение, общее для обеих систем, имеет единственное решение $x=0,$ $y=0,$ удовлетворяющее и первым уравнениям обеих систем. Поэтому системы равносильны и при $a=0.$

При $a больше 0$ второе уравнение задаётся окружностью радиуса $корень из: начало аргумента: a конец аргумента$ с центром в начале координат. Уравнение $синус левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =0$ равносильно бесконечной совокупности уравнений $x плюс y= \!\! Пи \!\! n,$ $n принадлежит Z .$

Системы равносильны тогда и только тогда, когда окружность, определяемая вторым уравнением, имеет общие точки только с прямой $x плюс y=0,$ соответствующей $n=0$ в первой системе. Для этого необходимо и достаточно, чтобы ее радиус был меньше, чем расстояние от начала координат до прямой $x плюс y= \!\! Пи \!\! ,$ т. е. чем число $дробь: числитель: \!\! Пи \!\! , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$

Итак, $0 меньше корень из: начало аргумента: a конец аргумента меньше дробь: числитель: \!\! Пи \!\! , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби$ или $0 меньше a меньше дробь: числитель: \!\! Пи \!\! в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .$ Учитывая полученные ранее значения $a меньше или равно 0,$ получаем ответ.

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: Пи в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но решение недостаточно обосновано	3
Ход решения верный, но в решении допущена ОДНА ошибка	2
Ход решения верный, но допущено более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных критериев	0
Максимальный балл	4

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь