От­ме­тим, что при урав­не­ние не имеет по­ло­жи­тель­ных кор­ней, так как его левая часть не­по­ло­жи­тель­на, а пра­вая по­ло­жи­тель­на.Опре­де­лим, для каких по­ло­жи­тель­ных a гра­фи­ки функ­ции и имеют ровно две точки пе­ре­се­че­ния на об­ла­сти Гра­фик функ­ции ― ги­пер­бо­ла, её го­ри­зон­таль­ная асимп­то­та вер­ти­каль­ная ― При всех по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра урав­не­ние имеет по­ло­жи­тель­ный ко­рень, боль­ший числа 4 (см. рис.). Чтобы урав­не­ние имело ровно два по­ло­жи­тель­ных ре­ше­ния, зна­че­ния па­ра­мет­ра долж­ны обес­пе­чи­вать су­ще­ство­ва­ние ровно од­но­го вто­ро­го корня на про­ме­жут­ке (0; 4). За­ме­тим, что на этом про­ме­жут­ке

Опре­де­лим вна­ча­ле зна­че­ние па­ра­мет­ра, со­от­вет­ству­ю­щие ка­са­нию пря­мой и ги­пер­бо­лы:

За­ме­тим, что ка­са­нию пря­мой и ги­пер­бо­лы со­от­вет­ству­ет нуль дис­кри­ми­нан­та по­лу­чен­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния:

Дис­кри­ми­нант равен нулю при един­ствен­ном по­ло­жи­тель­ном зна­че­нии па­ра­мет­ра Итак, ка­са­нию со­от­вет­ству­ет при этом абс­цис­са точки ка­са­ния по­ло­жи­тель­на:

Опре­де­лим далее зна­че­ние па­ра­мет­ра, при ко­то­ром пря­мая про­хо­дит через точку (0; 5). Имеем:

Итак, при и при урав­не­ние имеет ровно два по­ло­жи­тель­ных ре­ше­ния.

Ответ: при и при