PDF-версии: 
При каких a уравнение 
имеет ровно два положительных корня?
Решение. Отметим, что при
уравнение не имеет положительных корней, так как его левая часть неположительна, а правая положительна.Определим, для каких положительных a графики функции 
и 
имеют ровно две точки пересечения на области 
График функции ― гипербола, её горизонтальная асимптота 
вертикальная ― 
При всех положительных значениях параметра уравнение имеет положительный корень, больший числа 4 (см. рис.). Чтобы уравнение имело ровно два положительных решения, значения параметра должны обеспечивать существование ровно одного второго корня на промежутке (0; 4). Заметим, что на этом промежутке 
Определим вначале значение параметра, соответствующие касанию прямой 
и гиперболы:
Заметим, что касанию прямой и гиперболы соответствует нуль дискриминанта полученного квадратного уравнения:
Дискриминант равен нулю при единственном положительном значении параметра 
Итак, касанию соответствует 
при этом абсцисса точки касания положительна: 
Определим далее значение параметра, при котором прямая проходит через точку (0; 5). Имеем:
Итак, при 
и при 
уравнение имеет ровно два положительных решения.
Ответ: при и при 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но решение недостаточно обосновано | 3 |
| Ход решения верный, но в решении допущена ОДНА ошибка | 2 |
| Ход решения верный, но допущено более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных критериев | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
и при и при