1.
i
Решите уравнение 
Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Решите уравнение
Решение. Имеем:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Имеем:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Имеем:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Ответ: {0}.
Решите уравнение 
Решение. Ответ: решений нет.
Решите уравнение 
Решение. Имеем:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение.
Выразим 
получим:
Рассмотрим четыре случая.
1. Переменная x лежит в полуинтервале 
Значит, 
и уравнение 
принимает вид
Полученное уравнение не имеет решений.
2. Переменная x лежит в полуинтервале 
Значит, 
откуда:
Найденные корни являются посторонними, поскольку не принадлежат рассматриваемому промежутку.
3. Переменная x лежит в интервале 
Значит, 
откуда:
В рассматриваемом интервале лежит только корень 
4. Переменная x лежит в отрезке 
Значит, 
откуда:
В рассматриваемом промежутке лежит только корень 
Таким образом, решениями заданного уравнения являются числа 
и 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Имеем:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Заметим, что область допустимых значение системы 
Рассмотрим два случая.
1. Если 
то 
и 
В этом случае уравнение решений не имеет.
2. Если же 
то 
и уравнение принимает вид 
откуда 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Положим 
тогда 
отсюда
и уравнение принимает вид 
Из определения целой части следует, что
Решив эти неравенства, находим: 
Поскольку t — целое число, то оно может быть либо нулем, либо единицей. При 
получим 
а при 
имеем 
Ответ: 
Решить уравнение 
Решение. Поскольку 
—
где 
и после подстановки уравнение принимает вид
По определению целой части полученное уравнение равносильно двойному неравенству
Если 
то
Если 
то
Итак, остается рассмотреть только целые числа 
Проверка показывает, что решениями неравенства являются числа 
и 
При получим 
и при 
имеем 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Если два числа имеют одинаковую целую часть, то их разность по абсолютной величине меньше 1, и поэтому из данного уравнения следует неравенство
При 
выражения, стоящие под знаком целой части, равны. При 
справедливо неравенство 
Для таких х исходное уравнение не будет иметь решений тогда и только тогда, когда при 
имеет решения неравенство
Учитывая, что 
находим: 
и 
Следовательно, из интервала 
необходимо исключить интервалы 
и 
При 
справедливо неравенство 
Для таких х исходное уравнение не будет иметь решений тогда и только тогда, когда при имеет решения неравенство
Учитывая, что 
находим: 
и 
Следовательно, из интервала 
необходимо исключить интервалы 
и 
Таким образом, решением заданного уравнения является множество 
Ответ:
Решите уравнение 
Решение. Поскольку 
и 
то
Отсюда следует, что
И поэтому, во-первых, 
а во-вторых, в сумме, стоящей в середине полученного двойного неравенства, все слагаемые, начиная с третьего, равны 0, так что 
Поскольку х — целое число, то остается проверить значения от 0 до 6. Решениями уравнения оказываются числа 0, 4 и 5.
Ответ: 
(Соросовская олимпиада). Решите уравнение 
Решение. Запишем уравнение в виде 
и построим графики функций 
и 
Графики пересекаются в единственной точке, поэтому уравнение имеет единственный корень. Этот корень заключен между числами 1 и 2. Но если 
то 
и уравнение принимает вид 
откуда 
и 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Выразим дробную часть через целую, получим:
На множестве решений уравнения правая часть является целым числом. Положим 
где 
Тогда 
а 
Далее находим:
Подставляя в уравнение 
найденные значения n, находим: 
и 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Выразим дробную часть через целую, получим:
На множестве решений уравнения правая часть является целым числом. Положим 
где 
Тогда 
откуда 
Далее находим:
Подставляя найденные значения n в уравнение 
находим: 
или 
Ответ: 
Решите уравнение 
на отрезке 
Решение. Наибольшее значение целой части числа, принадлежащего отрезку 
равно 2. Лишь одно число из заданного отрезка удовлетворяет условию 
это само число 2. Причем число 2 является решением уравнения 
Если 
то есть если 
из исходного уравнения получаем:
Если 
то есть если то уравнение принимает вид 
Решением этого уравнения является любое число из 
Если 
и число x — целое, то 
Поэтому все числа −10, и число x — нецелое, то 
и потому 
а тогда уравнение не имеет решений.
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Используем тождество 
получим:
Положим 
где 
Тогда 
и
Подставляя найденное значения n в уравнение 
находим решение исходного уравнения: 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. На множестве корней уравнения его правая часть является целым числом, а тогда число х — целое. Следовательно, 
и тогда 
откуда 
или 
Из найденных корней подходит только целый.
Ответ: {0}.
Решите уравнение 
Решение. Область определения для данного уравнения есть интервал 
На множестве решений уравнения правая часть является натуральным числом. Положим 
где 
выразим x, получим:
Следовательно, 
а потому 
Ответ: {2}.
Решите уравнение 
Решение. На множестве корней уравнения его правая часть является целым числом. Положим 
где 
выразим х:
Подставим найденный x в выражение из левой части уравнения, получим:
Далее находим:
Полученному двойному неравенству удовлетворяют целые числа 3, 4, 5, 6 и 7. Подставляя их в уравнение 
найдем искомые x:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Пусть 
тогда 
Тогда:
Промежутки решений не пересекаются в двух случаях: если промежуток 2 лежит правее промежутка 1:
или если промежуток 2 лежит левее промежутка 1:
Значит, промежутки решений пересекаются при 
а так как 
то: 
Для каждого из этих случаев из неравенств 1 и 2 получаем:
— если то
— если то
— если то
— если 
то
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Из уравнения следует, что 
значит, 
Тогда число 
—
Ответ: 
Пример:
Решение. Построим графики функций 
и 
(см. рис.).
На рисунке видны общие точки графиков.
Ответ: 
Приведем другое решение.
Последовательно получаем:
Построим графики функций 
и 
при 
(см. рис.).
Подставим 
в 
тогда 
Полученное равенство верно.
Подставим 
в 
тогда 
что неверно, значит, 
Подставим в тогда 
Полученное равенство верно.
Подставим 
в тогда 
что неверно, значит, 
Подставим в тогда 
и 
в тогда 
Проверяем и получаем, что
Решите уравнение 
Решение. По определению целой части уравнение равносильно двойному неравенству:
Из найденных х необходимо выбрать такие, для которых число 
является целым. Квадратичная функция 
возрастает на отрезке 
Пределы, в которых изменяются значения функции, определяются значениями функции на краях отрезка:
В этих пределах лежат два целых значения: 
Им соответствуют 
Это и есть решения данного уравнения.
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение. Имеем
а потому 
Тогда 
Построим графики функций 
и 
Из графика ясно, что уравнение имеет единственное решение при 
где 
Следовательно, 
откуда 
Ответ:
Примечание.
Разумеется, можно было бы искать абсциссы точек пересечения графиков функций 
и 
Найдите корни уравнения 
Решение. Воспользовавшись равенством 
преобразуем исходное уравнение:
Заметим, что 
— целое число, тогда 
— квадрат целого числа. Очевидно, что 
но так как 
то 
откуда 
и 
Тогда из равенства 
следует, что 
Так как квадрат целого числа больше 20 и в сумме с другим положительным числом даст 29, то 
и 
Решая каждое из двух последних уравнений, получаем ответ 
Ответ: {2,25}.
Решите уравнение 
Решение. Рассмотрим три случая.
Если 
то 
и уравнение обращается в верное числовое равенство 
Если 
то 
и 
а потому 
Тогда уравнение принимает 
Все числа x из рассматриваемого промежутка являются решениями полученного уравнения.
Если 
то 
тогда 
и, значит, 
Отсюда 
но тогда 
Теперь из уравнения следует, что:
Если 
то 
Тогда уравнение принимает вид
С учетом рассматриваемого промежутка получаем, что 
Если 
то 
Тогда 
уравнение принимает вид
Найденные решения лежат на рассматриваемом промежутке.
Таким образом, решением уравнения являются 
и 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Обозначим 
где k — целое число. Тогда 
и потому 
Исходное уравнение принимает вид
Подставляя найденные значения k в уравнение находим: 
или 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Обозначим 
тогда 
где Получим систему неравенств:
Чтобы полученная система имела решения, необходимо и достаточно выполнения системы:
Решим систему при 
получим 
Решим систему при 
получим 
Объединяя решения, получим, что 
Ответ: 
Примечание. Чтобы найти решения системы (⁎), можно было бы вначале выяснить, при каких n она не имеет решений. Это возможно в следующих случаях:
а) решения первого неравенства лежат левее решений второго неравенства: 
откуда 
б) решения первого неравенства лежат правее решений второго неравенства: 
откуда 
Следовательно, система совместна при 
то есть при или 
Приведем другое решение. Целые части чисел равны, если модуль разности этих чисел меньше единицы:
При найденных значениях переменной имеем: 
а потому 
С другой стороны, 
откуда 
и потому 
Следовательно, возможны два случая:
Приведем ещё одно решение.
Построим графики левой и правой частей уравнения. Графики пересекаются при 
Решите уравнение 
Решение. Выражения, стоящие под знаком целой части нецелые и противоположны друг другу. Следовательно, их сумма равна −1. Тогда уравнение принимает вид 
откуда
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Дробная часть равна 0 только у целых чисел.
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Целая часть числа равна самому числу только у целых чисел.
Ответ:
Решите уравнение 
Решение. Выражения, стоящие под знаком дробной части целые и противоположны друг другу. Следовательно, их сумма равна 0. Тогда уравнение принимает вид 
откуда 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Исходное уравнение равносильно двойному неравенству
Дальнейшие действия не требуют пояснений
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Перейдем к следствию:
Найдем антье из левой части исходного уравнения на полученных полуинтервалах, получим:
и
Подходит лишь корень 
Ответ:
Решите уравнение 
Решение. Указание. Переходим к системе неравенств с целочисленным параметром n
Последняя система совместна, если
При 
находим:
Два оставшихся случая 
и 
рассмотрите самостоятельно.
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Пусть 
где 
Тогда по определению целой части:
и
откуда
и
Найденные решения пересекаются тогда и только тогда, когда
При найденном значении n, возвращаясь к неравенствам на х получаем:
и
а потому 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Равносильность
для функции 
принимает вид:
поскольку условие 
выполняется для всех x. Решениями неравенства 
являются 
для всех целых чисел n.
Ответ: 
| № п/п | № задания | Ответ |
| 1 | 7513 | |
| 2 | 7514 | |
| 3 | 7515 | |
| 4 | 7516 | {0}. |
| 5 | 7517 | решений нет. |
| 6 | 7518 | |
| 7 | 7521 | |
| 8 | 7522 | |
| 9 | 7531 | |
| 10 | 7537 | |
| 11 | 7538 | |
| 12 | 7539 | |
| 13 | 7540 | |
| 14 | 7544 | |
| 15 | 8356 | |
| 16 | 8357 | |
| 17 | 8358 | |
| 18 | 8366 | |
| 19 | 8367 | {0}. |
| 20 | 8370 | {2}. |
| 21 | 8385 | |
| 22 | 8386 | |
| 23 | 8388 | |
| 24 | 8389 | |
| 25 | 8390 | |
| 26 | 8391 | |
| 27 | 8395 | {2,25}. |
| 28 | 8401 | |
| 29 | 8402 | |
| 30 | 8403 | |
| 31 | 8413 | |
| 32 | 8418 | |
| 33 | 8419 | |
| 34 | 8429 | |
| 35 | 8450 | |
| 36 | 8457 | |
| 37 | 8465 | |
| 38 | 8467 | |
| 39 | 8468 | |
| 40 | 8472 | |