Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния на 83 числа: a) 9⁸³, б) 9¹⁶⁵.

Найти оста­ток от де­ле­ния:

1)  числа 39⁴⁶ на 5;

2)  числа 64²⁹ на 7;

3)  числа 103¹⁵ на 17;

4)  числа 10¹⁰ + 28³ − 1 на 3;

5)  числа 7 · 10³⁰ на 9.

Най­ди­те остат­ки от де­ле­ния на 83 чисел:

Най­ди­те:

а)  3²⁰¹⁵ (mod 31);

б)  7⁶⁰⁰ (mod 31).

Будет ли про­стым число:

а)  28¹⁰¹³ + 1013²⁸;

б)  1093¹⁰¹² + 1012?

Пусть n  — на­ту­раль­ное число, не крат­ное 13. До­ка­жи­те, что либо n⁶ − 1, либо n⁶ + 1 де­лит­ся на 13.

а)  До­ка­жи­те, что 13¹⁶⁰ − 1 де­лит­ся на 187.

б)  До­ка­жи­те, что 300⁴⁸⁰ − 1 де­лит­ся на 1001.

Най­ди­те оста­ток числа 13¹⁰⁰ на 4.

Най­ди­те оста­ток числа 12¹⁰⁰ по мо­ду­лю 13.

Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния суммы на 7.

Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния на 7 числа

Ка­ко­ва по­след­няя цифра числа 137¹⁰⁰?

Най­ди­те по­след­нюю цифру каж­до­го из сле­ду­ю­щих чисел: а)  19¹⁰⁰; б)  1999¹⁹⁹⁹.

а)  Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния на 3 числа

б)  Най­ди­те по­след­нюю цифру числа

До­ка­жи­те, что n³ – n крат­но 6 для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа n.

Ука­жи­те все воз­мож­ные остат­ки при де­ле­нии чисел вида n² + 3n на 7.

Най­ди­те по­след­нюю цифру числа:

а)  

б)  

Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния на 4 числа:

а)  

б)  

До­ка­жи­те, что n³ + 2n крат­но 3 для лю­бо­го на­ту­раль­но­го зна­че­ния n.

Найти оста­ток от де­ле­ния на 11 числа

Най­ди­те по­след­нюю цифру суммы:

а)  

б)  

До­ка­жи­те, что квад­рат не­чет­но­го числа при де­ле­нии на 8 дает оста­ток 1.

До­ка­жи­те, что сумма квад­ра­тов двух по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел при де­ле­нии на 4 дает оста­ток 1.

Найти оста­ток от де­ле­ния на 7 числа

Найти оста­ток от де­ле­ния на 11 числа

Найти оста­ток от де­ле­ния на 17 числа

Найти оста­ток от де­ле­ния на 11 числа 3²⁰²³.

Найти оста­ток от де­ле­ния на 11 числа 2021²⁰²³.

Найти оста­ток от де­ле­ния на 9 числа 23²⁷⁷.

Найти оста­ток от де­ле­ния на 9 числа

Найти оста­ток от де­ле­ния числа на 10.

Оста­ток от де­ле­ния числа a на число 3 равен 1, а от де­ле­ния на 7 равен 5. Чему равен оста­ток от де­ле­ния числа a на 21?

Найти оста­ток от де­ле­ния числа на 7.

Найти оста­ток от де­ле­ния на 7 числа

Найти оста­ток от де­ле­ния на 11 числа 2²⁹.

а)  Най­ди­те все целые по­ло­жи­тель­ные n, для ко­то­рых число де­лит­ся на 7.

б)  До­ка­жи­те, что ни при каком целом по­ло­жи­тель­ном n число не де­лит­ся на 7.

До­ка­жи­те, что не яв­ля­ет­ся кубом це­ло­го числа ни при каких на­ту­раль­ных a и b.

До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет бес­ко­неч­но много на­ту­раль­ных чисел, не пред­ста­ви­мых в виде суммы трех кубов целых чисел.

Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния на 7.

Най­ди­те все целые ре­ше­ния урав­не­ния

Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния  на 5.