РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 26 № 7139 Добавить в вариант

Найти остаток от деления на 11 числа 3²⁰²³.

Решение.

На основании малой теоремы Ферма имеем $a в степени левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка \equiv1 левая круглая скобка mod m правая круглая скобка .$ Здесь a  =  3, m  =  11. Будет верным сравнение $3 в степени левая круглая скобка 11 минус 1 правая круглая скобка \equiv1 левая круглая скобка mod 11 правая круглая скобка .$ Преобразуем: $3 в степени левая круглая скобка 2023 правая круглая скобка = 3 в кубе умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка = 27 умножить на левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 202 правая круглая скобка .$ Число 27 при делении на 11 дает в остатке 5: $27\equiv5 левая круглая скобка mod 11 правая круглая скобка .$ Имеем:

$левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 202 правая круглая скобка = левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 11 минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 202 правая круглая скобка \equiv1 в степени левая круглая скобка 202 правая круглая скобка левая круглая скобка mod 11 правая круглая скобка \equiv1 левая круглая скобка mod 11 правая круглая скобка .$

Тогда

$27 умножить на левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 202 правая круглая скобка \equiv5 умножить на 1 левая круглая скобка mod 11 правая круглая скобка \equiv5 левая круглая скобка mod 11 правая круглая скобка .$

Ответ: 5.

Спрятать решение · Помощь