РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 26 № 7137 Добавить в вариант

Найти остаток от деления на 11 числа $3 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка плюс 7 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

По малой теореме Ферма $a в степени левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка \equiv1 левая круглая скобка mod m правая круглая скобка :$ в нашем случае m  =  11, значит, $m минус 1 = 10.$ Выделим из степеней 3²⁰⁰² и 7²⁰⁰² степени 2¹⁰ и 3¹⁰. Имеем:

$3 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка =3 в квадрате умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2000 правая круглая скобка =9 умножить на левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка ;$

$7 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка =7 в квадрате умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2000 правая круглая скобка =49 умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка .$

Следовательно,

$3 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка плюс 7 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка =9 умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка плюс 49 умножить на левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка \equiv9 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка плюс 49 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка = 9 умножить на 1 плюс 5 умножить на 1 = 14 \equiv3 левая круглая скобка mod 11 правая круглая скобка .$ $3 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка плюс 7 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка =9 умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка плюс 49 умножить на левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка \equiv9 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка плюс 49 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка =$
$= 9 умножить на 1 плюс 5 умножить на 1 = 14 \equiv3 левая круглая скобка mod 11 правая круглая скобка .$ $3 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка плюс 7 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка =$
$=9 умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка плюс 49 умножить на левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка \equiv9 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка плюс 49 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка =$
$= 9 умножить на 1 плюс 5 умножить на 1 = 14 \equiv3 левая круглая скобка mod 11 правая круглая скобка .$

Ответ: 3.

Спрятать решение · Помощь