РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 26 № 7131 Добавить в вариант

Найти остаток от деления на 11 числа $2 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Используем сравнение $a в степени левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка \equiv 1 левая круглая скобка mod m правая круглая скобка .$ У нас m  =  11, значит, $m минус 1 = 10.$

Выделим из степеней 2²⁰⁰² и 3²⁰⁰² степени 2¹⁰ и 3¹⁰. Имеем:

$2 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка = 2 в квадрате умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2000 правая круглая скобка = 4 умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка ;$

$3 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка = 3 в квадрате умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2000 правая круглая скобка = 9 умножить на левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка .$

Тогда:

$2 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка = 4 умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка плюс 9 умножить на левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка \equiv 4 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка левая круглая скобка mod 11 правая круглая скобка плюс$
$плюс 9 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка левая круглая скобка mod 11 правая круглая скобка \equiv 4 плюс 9 левая круглая скобка mod 11 правая круглая скобка \equiv 2 левая круглая скобка mod 11 правая круглая скобка .$ $2 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 2002 правая круглая скобка = 4 умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка плюс$
$плюс 9 умножить на левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка \equiv 4 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка левая круглая скобка mod 11 правая круглая скобка плюс$
$плюс 9 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка левая круглая скобка mod 11 правая круглая скобка \equiv 4 плюс 9 левая круглая скобка mod 11 правая круглая скобка \equiv 2 левая круглая скобка mod 11 правая круглая скобка .$

Искомый остаток равен 2.

Ответ: 2.

Спрятать решение · Помощь