Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 26 № 7101
i

Най­ди­те остат­ки от де­ле­ния на 83 чисел:

а)  982;

б)  984;

в)  988;

г)  9165,

д)  9100!.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Имеем 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 82 пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 1 левая круг­лая скоб­ка mod 83 пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 84 пра­вая круг­лая скоб­ка = 9 в квад­ра­те умно­жить на 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 82 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 82 пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 1 левая круг­лая скоб­ка mod 83 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 84 пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 9 в квад­ра­те умно­жить на 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 82 пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 9 в квад­ра­те умно­жить на 1 \equiv 81 левая круг­лая скоб­ка mod 83 пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 88 пра­вая круг­лая скоб­ка = 9 в сте­пе­ни 6 умно­жить на 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 82 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 82 пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 1 левая круг­лая скоб­ка mod 83 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

9 в сте­пе­ни 6 = 9 в кубе умно­жить на 9 в кубе ,

9 в кубе \equiv 65 левая круг­лая скоб­ка mod 83 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

9 в сте­пе­ни 6 = 65 умно­жить на 65 = 13 в квад­ра­те умно­жить на 5 в квад­ра­те \equiv 75 левая круг­лая скоб­ка mod 83 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 88 пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 9 в сте­пе­ни 6 умно­жить на 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 82 пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 75 умно­жить на 1 \equiv 75 левая круг­лая скоб­ка mod 83 пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 165 пра­вая круг­лая скоб­ка = 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 82 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 83 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 82 пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 1 левая круг­лая скоб­ка mod 83 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 83 пра­вая круг­лая скоб­ка = 9 умно­жить на 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 82 пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 9 умно­жить на 1 \equiv 9 левая круг­лая скоб­ка mod 83 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 165 пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 9 умно­жить на 1 \equiv 9 левая круг­лая скоб­ка mod 83 пра­вая круг­лая скоб­ка .

д)  По малой тео­ре­ме Ферма числа  9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 82 пра­вая круг­лая скоб­ка при де­ле­нии на 83 дает оста­ток 1. Сле­до­ва­тель­но, и любая сте­пень этого числа при де­ле­нии на 83 даст оста­ток⁠1.

 

Ответ: а)  1; б)  81; в)  75; г)  9; д)  1.

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025