РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 26 № 7101 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 6. Остатки по модулю, малая теорема Ферма

Найдите остатки от деления на 83 чисел:

а)  9⁸²;

б)  9⁸⁴;

в)  9⁸⁸;

г)  9¹⁶⁵,

д)  9^100!.

Решение. а)  Имеем $9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка \equiv 1 левая круглая скобка mod 83 правая круглая скобка .$

б)  Последовательно получаем:

$9 в степени левая круглая скобка 84 правая круглая скобка = 9 в квадрате умножить на 9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка ,$

$9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка \equiv 1 левая круглая скобка mod 83 правая круглая скобка ,$

$9 в степени левая круглая скобка 84 правая круглая скобка \equiv 9 в квадрате умножить на 9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка \equiv 9 в квадрате умножить на 1 \equiv 81 левая круглая скобка mod 83 правая круглая скобка .$

в)  Последовательно получаем:

$9 в степени левая круглая скобка 88 правая круглая скобка = 9 в степени 6 умножить на 9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка ,$

$9 в степени 6 = 9 в кубе умножить на 9 в кубе ,$

$9 в кубе \equiv 65 левая круглая скобка mod 83 правая круглая скобка ,$

$9 в степени 6 = 65 умножить на 65 = 13 в квадрате умножить на 5 в квадрате \equiv 75 левая круглая скобка mod 83 правая круглая скобка ,$

$9 в степени левая круглая скобка 88 правая круглая скобка \equiv 9 в степени 6 умножить на 9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка \equiv 75 умножить на 1 \equiv 75 левая круглая скобка mod 83 правая круглая скобка .$

г)  Последовательно получаем:

$9 в степени левая круглая скобка 165 правая круглая скобка = 9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка умножить на 9 в степени левая круглая скобка 83 правая круглая скобка ,$

$9 в степени левая круглая скобка 83 правая круглая скобка = 9 умножить на 9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка \equiv 9 умножить на 1 \equiv 9 левая круглая скобка mod 83 правая круглая скобка ,$

$9 в степени левая круглая скобка 165 правая круглая скобка \equiv 9 умножить на 1 \equiv 9 левая круглая скобка mod 83 правая круглая скобка .$

д)  По малой теореме Ферма числа  $9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка$ при делении на 83 дает остаток 1. Следовательно, и любая степень этого числа при делении на 83 даст остаток⁠1.

Ответ: а)  1; б)  81; в)  75; г)  9; д)  1.

7101

а)  1; б)  81; в)  75; г)  9; д)  1.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	7101	а)  1; б)  81; в)  75; г)  9; д)  1.