Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
РЕШУ УРОК — алгебра
6. Остатки по модулю, малая теорема Ферма
1.  
i

Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния на 83 числа: a) 983, б) 9165.

2.  
i

Найти оста­ток от де­ле­ния:

1)  числа 3946 на 5;

2)  числа 6429 на 7;

3)  числа 10315 на 17;

4)  числа 1010 + 283 − 1 на 3;

5)  числа 7 · 1030 на 9.

3.  
i

Най­ди­те остат­ки от де­ле­ния на 83 чисел:

а)  982;

б)  984;

в)  988;

г)  9165,

д)  9100!.

4.  
i

Най­ди­те:

а)  32015 (mod 31);

б)  7600 (mod 31).

5.  
i

Будет ли про­стым число:

а)  281013 + 101328;

б)  10931012 + 1012?

6.  
i

Пусть n  — на­ту­раль­ное число, не крат­ное 13. До­ка­жи­те, что либо n6 − 1, либо n6 + 1 де­лит­ся на 13.

7.  
i

а)  До­ка­жи­те, что 13160 − 1 де­лит­ся на 187.

б)  До­ка­жи­те, что 300480 − 1 де­лит­ся на 1001.

8.  
i

Най­ди­те оста­ток числа 13100 на 4.

9.  
i

Най­ди­те оста­ток числа 12100 по мо­ду­лю 13.

10.  
i

Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния суммы 1995 плюс 1996 плюс 1997 плюс 1998 плюс 1999 на 7.

11.  
i

Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния на 7 числа 1996 умно­жить на 1997 умно­жить на 1998 умно­жить на 1999 умно­жить на 2000 умно­жить на 2001.

12.  
i

Ка­ко­ва по­след­няя цифра числа 137100?

13.  
i

Най­ди­те по­след­нюю цифру каж­до­го из сле­ду­ю­щих чисел: а)  19100; б)  19991999.

14.  
i

а)  Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния на 3 числа 1998 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1998 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1999 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1999 пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­ди­те по­след­нюю цифру числа 1998 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1998 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1999 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1999 пра­вая круг­лая скоб­ка .

15.  
i

До­ка­жи­те, что n3 – n крат­но 6 для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа n.

16.  
i

Ука­жи­те все воз­мож­ные остат­ки при де­ле­нии чисел вида n2 + 3n на 7.

17.  
i

Най­ди­те по­след­нюю цифру числа:

а)  11 в сте­пе­ни 6 плюс 14 в сте­пе­ни 6 плюс 16 в сте­пе­ни 6 ;

б)  11 умно­жить на 13 умно­жить на 15 умно­жить на 17 умно­жить на 19.

18.  
i

Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния на 4 числа:

а)  11 в сте­пе­ни 6 плюс 14 в сте­пе­ни 6 плюс 16 в сте­пе­ни 6 ;

б)  11 умно­жить на 13 умно­жить на 15 умно­жить на 17 умно­жить на 19.

19.  
i

До­ка­жи­те, что n3 + 2n крат­но 3 для лю­бо­го на­ту­раль­но­го зна­че­ния n.

20.  
i

Найти оста­ток от де­ле­ния на 11 числа 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2002 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2002 пра­вая круг­лая скоб­ка .

21.  
i

Най­ди­те по­след­нюю цифру суммы:

а)  1 в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те плюс умно­жить на s плюс 10 в квад­ра­те ;

б)  1 в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те плюс умно­жить на s плюс 100 в квад­ра­те .

22.  
i

До­ка­жи­те, что квад­рат не­чет­но­го числа при де­ле­нии на 8 дает оста­ток 1.

23.  
i

До­ка­жи­те, что сумма квад­ра­тов двух по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел при де­ле­нии на 4 дает оста­ток 1.

24.  
i

Найти оста­ток от де­ле­ния на 7 числа 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2002 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2002 пра­вая круг­лая скоб­ка .

25.  
i

Найти оста­ток от де­ле­ния на 11 числа 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2002 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 7 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2002 пра­вая круг­лая скоб­ка .

26.  
i

Найти оста­ток от де­ле­ния на 17 числа 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 367 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 43.

27.  
i

Найти оста­ток от де­ле­ния на 11 числа 32023.

28.  
i

Найти оста­ток от де­ле­ния на 11 числа 20212023.

29.  
i

Найти оста­ток от де­ле­ния на 9 числа 23277.

30.  
i

Найти оста­ток от де­ле­ния на 9 числа 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2021 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 5.

31.  
i

Найти оста­ток от де­ле­ния числа 36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 24 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 21 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 45 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 7 в сте­пе­ни 8 на 10.

32.  
i

Оста­ток от де­ле­ния числа a на число 3 равен 1, а от де­ле­ния на 7 равен 5. Чему равен оста­ток от де­ле­ния числа a на 21?

33.  
i

Найти оста­ток от де­ле­ния числа 59 умно­жить на 60 умно­жить на 61 минус 62 на 7.

34.  
i

Найти оста­ток от де­ле­ния на 7 числа 65 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 43 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 54 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 32 пра­вая круг­лая скоб­ка .

35.  
i

Найти оста­ток от де­ле­ния на 11 числа 229.

36.  
i

а)  Най­ди­те все целые по­ло­жи­тель­ные n, для ко­то­рых число 2 в сте­пе­ни n минус 1 де­лит­ся на 7.

б)  До­ка­жи­те, что ни при каком целом по­ло­жи­тель­ном n число 2 в сте­пе­ни n плюс 1 не де­лит­ся на 7.

37.  
i

До­ка­жи­те, что a в кубе плюс b в кубе плюс 4 не яв­ля­ет­ся кубом це­ло­го числа ни при каких на­ту­раль­ных a и b.

38.  
i

До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет бес­ко­неч­но много на­ту­раль­ных чисел, не пред­ста­ви­мых в виде суммы трех кубов целых чисел.

39.  
i

Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния 6 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 23 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 24 пра­вая круг­лая скоб­ка на 7.

40.  
i

Най­ди­те все целые ре­ше­ния урав­не­ния x в квад­ра­те плюс xy = 1 плюс 2y в квад­ра­те .

41.  
i

Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния  13 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 20 пра­вая круг­лая скоб­ка на 5.