1.
i
Докажите, что число 
составное.
Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Докажите, что число составное.
Среди чисел от 1 до 1 000 000 каких больше: делящихся на 11, но не делящихся на 13, или делящихся на 13, но не делящихся на 11?
Является ли числа
а = 723 327 723 327,
b = 823 382 823 382,
c = 123 321 123 321
полными квадратами?
а) Докажите признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
б) Докажите признак делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Найдите две последние цифры числа 82**, если оно делится на 90.
Докажите, что нечётные степени числа 10, сложенные с 1, делятся на 11.
Докажите признак делимости на 11: число делится на 11 тогда и только тогда, когда знакопеременная сумма его цифр делится на 11.
Докажите признак делимости на 11: число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма двузначных граней этого числа делится на 11.
Какой остаток при делении на 11 даст число, записанное 2011-ю единицами?
Докажите признаки делимости на 7, 11 и 13: число делится на 7 (11, 13) тогда и только тогда, когда знакопеременная сумма его трехзначных граней, взятых справа налево, делится на 7 (11, 13).
Делится ли 1018 – 1 на 99?
Какую цифру необходимо дописать вместо *, чтобы число *26112 было кратно 7?
Число 11...11 делится на 7. Докажите, что оно делится на 13.
Делится ли число 10 665 655 на: а) 13, б) 77? Найдите все простые делители этого числа. Найдите количество всевозможных делителей этого числа.
Из трёхзначного числа вычли число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. На какие числа, отличные от 1, гарантированно делится полученная разность?
Сумма цифр двузначного числа равна 12. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, составляет 
от исходного числа. Найдите такое число.
Найдите наименьшее натуральное число, начинающееся с цифры 4, уменьшающееся в четыре раза от перестановки этой цифры в конец числа.
Если двузначное число разделить на число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 4, а в остатке 3. Если же это число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 8, а в остатке 7. Найдите это число.
Найти наименьшее натуральное число, оканчивающееся цифрой 6, которое увеличивается в 4 раза при перестановке его последней цифры в начало числа.
Докажите, что для всех натуральных n число 
кратно 5.
Докажите, что для любых натуральных значений n число 
делится на 30.
На какую цифру заканчиваются числа: а) 9261, б) 12261, в) 777261? Сделайте вывод.
Определите последнюю цифру числа 
Докажите, что число делится на 5.
Докажите, что следующие дроби несократимы при всех натуральных значениях n:
а) 
б) 
в) 
Найдите все целые n, при которых число 
— целое.
Найдите все числа n при которых дробь 
сократима.
Среди чисел, превышающих 100, найдите наименьшее четное число n, при котором дробь 
сократима.
Среди чисел, превышающих 2013, найдите наименьшее четное число N, при котором дробь 
сократима.
Докажите, что дробь 
несократима ни при каких натуральных n.
Определите, при каких целых n сократима дробь 
Определите, при каких целых n сократима дробь 
(Московская математическая олимпиада, 7 класс, 1956) Найдите все числа, на которые может быть сократима при целом значении l дробь 
Тогда:
записывается четным числом девяток, а потому кратна 11, а для нечетных n делимость доказана в задаче 
Тогда:
Первый сомножитель делится на 1001, поскольку в силу формулы 
получаем:
Они также кратны 1001, поскольку 
тогда разность чисел равна
где a и b — отличные от нуля цифры. Тогда 
откуда получаем уравнение
Поскольку начальное число в четыре раза больше полученного, можно составить уравнение:
а искомое число равно 410 256.
поэтому она равна 6, а значит, и в левой части последняя цифра 
поэтому она равна 5, а значит, 
значит, 
Получаем:
откуда 
откуда 
верно равенство
то 
то 
то 
то 
то 
где 
то первый множитель делится на 5.
то третья скобка 
делится на 5.
то третья скобка 
делится на 5.
то вторая скобка 
делится на 5.
то вторая скобка 
делится на 5.
при делении на 5 лает тот же остаток, что и число n. Следовательно, число 
при делении на 5 дает тот же остаток, что и 5n, то есть делится нацело.
то первый множитель делится на 2. Если 
то второй множитель 
делится на 2.
то на 3 делится первый множитель. Если 
то третий множитель 
делится на 3. Если 
то второй множитель 
делится на 3.
то на 5 делится первый множитель. Если 
то четвертый множитель 
то третий множитель 
то четвертый множитель 
то второй множитель 
делится на 5.
равна последней цифре суммы 
то есть 4.
и 
заканчиваются на 2. Следовательно, число 
заканчивается той же цифрой, что и 
то есть на 8. Аналогично для других чисел.
заканчивается на 9. Любая степень числа, заканчивающегося на 6, заканчивается на 6. Поэтому заданное число заканчивается на 5, а потому кратно 5.
значит, 
значит, 
значит, 
откуда 
сократима. Но ее можно сократить только на ±7. Следовательно, 
равно ±7. Проверяя варианты, заключаем, что 
и 
влечет за собой наличие такого же делителя у числа 
откуда 
Число n — четное, а значит, 
Нужное значение достигается при 
и 
влечет за собой наличие такого же множителя у числа 
то есть 
По условию N — четное число, поэтому 
Нужное значение достигается при 
несократима, так как ее числитель равен 1. Следовательно, данная дробь несократима.
то есть при 
для всех целых k.
нечётно при всех n. Во втором случае n должно быть равным 
или 
В третьем случае 
поэтому n снова должно быть числом вида 
поэтому 
равен 1 или 13. Сокращение на 1 невозможно, а если НОД равен 13, то число 
кратно 13, откуда, например, 
При 
получаем дробь 
которая действительно сократима на 13.