Пусть дано число

В по­след­нем ра­вен­стве пер­вая строч­ка вы­ра­жа­ет до­ка­зы­ва­е­мый при­знак де­ли­мо­сти, а вто­рая строч­ка со­сто­ит из сла­га­е­мых, крат­ных 11: для чет­ных n раз­ность за­пи­сы­ва­ет­ся чет­ным чис­лом де­вя­ток, а по­то­му крат­на 11, а для не­чет­ных n де­ли­мость до­ка­за­на в за­да­че 5283. По­сколь­ку сумма чисел во вто­рой стро­ке крат­на 11, число а де­лит­ся на 11 тогда и толь­ко тогда, когда сумма чисел в пер­вой стро­ке крат­на 11. Это и до­ка­зы­ва­ет при­знак де­ли­мо­сти.

При­ве­дем дру­гое до­ка­за­тель­ство.

За­ме­тим, что Тогда:

Это и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.