Тип 26 № 7474 
Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 1. Признаки делимости, сократимость, последняя цифра
i
Докажите признак делимости на 11: число делится на 11 тогда и только тогда, когда знакопеременная сумма его цифр делится на 11.
Решение. Пусть дано число
В последнем равенстве первая строчка выражает доказываемый признак делимости, а вторая строчка состоит из слагаемых, кратных 11: для четных n разность 
записывается четным числом девяток, а потому кратна 11, а для нечетных n делимость доказана в задаче 5283. Поскольку сумма чисел во второй строке кратна 11, число а делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма чисел в первой строке кратна 11. Это и доказывает признак делимости.
Приведем другое доказательство.
Заметим, что 
Тогда:
Это и требовалось доказать.
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем