РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 26 № 5292 Добавить в вариант

Докажите, что для всех натуральных n число $n в степени 5 плюс 4n$ кратно 5.

Спрятать решение

Решение.

При делении на 5 возможны пять различных остатков. Проанализируем каждый из случаев.

Если $n \equiv 0 левая круглая скобка \bmod 5 правая круглая скобка ,$ то $n в степени 5 плюс 4n \equiv 0 левая круглая скобка \bmod 5 правая круглая скобка ,$

Если $n \equiv 1 левая круглая скобка \bmod 5 правая круглая скобка ,$ то $n в степени 5 плюс 4n \equiv 1 в степени 5 плюс 4 \equiv 0 левая круглая скобка \bmod 5 правая круглая скобка ,$

Если $n \equiv 2 левая круглая скобка \bmod 5 правая круглая скобка ,$ то $n в степени 5 плюс 4n \equiv 2 в степени 5 плюс 8 \equiv 0 левая круглая скобка \bmod 5 правая круглая скобка ,$

Если $n \equiv 3 левая круглая скобка \bmod 5 правая круглая скобка ,$ то $n в степени 5 плюс 4n \equiv 3 в степени 5 плюс 12 \equiv 0 левая круглая скобка \bmod 5 правая круглая скобка ,$

Если $n \equiv 4 левая круглая скобка \bmod 5 правая круглая скобка ,$ то $n в степени 5 плюс 4n \equiv 4 в степени 5 плюс 16 \equiv 0 левая круглая скобка \bmod 5 правая круглая скобка ,$

Приведём другое решение.

Разложим на множители:

$n в степени 5 плюс 4n=n левая круглая скобка n в степени 4 плюс 4 правая круглая скобка =n левая круглая скобка левая круглая скобка n в степени 4 плюс 4n в квадрате плюс 4 правая круглая скобка минус 4n в квадрате правая круглая скобка =$
$=n левая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2n правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =n левая круглая скобка n в квадрате плюс 2 минус 2n правая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс 2 плюс 2n правая круглая скобка .$

При делении на 5 возможны пять различных остатков. Проанализируем каждый из случаев.

Если $n=5k,$ где $k принадлежит N ,$ то первый множитель делится на 5.

Если $n=5k плюс 1,$ то третья скобка $n в квадрате плюс 2n плюс 2=25k в квадрате плюс 10k плюс 1 плюс 10k плюс 2 плюс 2=5 левая круглая скобка 5k в квадрате плюс 4k плюс 1 правая круглая скобка$ делится на 5.

Если $n=5k плюс 2,$ то третья скобка $n в квадрате плюс 2n плюс 2=25k в квадрате плюс 20k плюс 4 плюс 10k плюс 4 плюс 2= 5 левая круглая скобка 5k в квадрате плюс 6k плюс 2 правая круглая скобка$ делится на 5.

Если $n=5k плюс 3,$ то вторая скобка $n в квадрате минус 2n плюс 2=25k в квадрате плюс 30k плюс 9 минус 10k минус 6 плюс 2= 5 левая круглая скобка 5k в квадрате плюс 4k плюс 1 правая круглая скобка$ делится на 5.

Если $n=5k плюс 4,$ то вторая скобка $n в квадрате минус 2n плюс 2=25k в квадрате плюс 40k плюс 16 минус 10k минус 8 плюс 2= 5 левая круглая скобка 5k в квадрате плюс 6k плюс 2 правая круглая скобка$ делится на 5.

Таким образом, число $n в степени 5 плюс 4n$ при всех натуральных n делится на 5 без остатка.

Приведём другое решение.

Число 5  — простое, а потому по малой теореме Ферма число $n в степени 5$ при делении на 5 лает тот же остаток, что и число n. Следовательно, число $n в степени 5 плюс 4n$ при делении на 5 дает тот же остаток, что и 5n, то есть делится нацело.

Спрятать решение · Помощь