РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 26 № 7421 Добавить в вариант

Найдите наименьшее натуральное число, начинающееся с цифры 4, уменьшающееся в четыре раза от перестановки этой цифры в конец числа.

Спрятать решение

Решение.

Запишем начальное и полученное числа как

$\overline4 a_n минус 1 a_n минус 2 \ldots a_0$

$\overlinea_n минус 1 a_n минус 2 \ldots a_0 4.$

Пусть одинаковые цифры образуют число $A=\overlinea_n минус 1 a_n минус 2 \ldots a_0.$ Поскольку начальное число в четыре раза больше полученного, можно составить уравнение:

$4 умножить на 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс A=4 умножить на левая круглая скобка 10 A плюс 4 правая круглая скобка равносильно 39 A = 4 левая круглая скобка 10 в степени n минус 4 правая круглая скобка равносильно 39 A=4 умножить на \underbrace99 \ldots 9_n минус 1 6 равносильно 13 A=4 умножить на \underbrace33 \ldots 3_n минус 1 2.$

Деля «в столбик», находим, что наименьшее число вида 33...32, делящееся на 13, равно 33 332, а частное от деления равно 2564. Тогда $A=4 умножить на 2564 = 10 256,$ а искомое число равно 410 256.

Ответ: 410 256.

Приведем другое решение.

Последняя цифра в правой части равенства

$\overline4 a_n минус 1 a_n минус 2 \ldots a_2 a_1 a_0 = 4 умножить на \overlinea_n минус 1 a_n минус 2 \ldots a_2 a_1 a_0 4.$

получается из произведения $4 умножить на 4 = 16,$ поэтому она равна 6, а значит, и в левой части последняя цифра $a_0 = 6.$

Предпоследняя цифра в правой части равенства

$\overline4 a_n минус 1 a_n минус 2 \ldots a_2 a_1 6 = 4 умножить на \overlinea_n минус 1 a_n минус 2 \ldots a_2 a_16 4.$

равна предпоследней цифре произведения $4 умножить на 64 = 256,$ поэтому она равна 5, а значит, $a_1 = 5.$

Третья цифра с конца в правой части равенства

$\overline4 a_n минус 1 a_n минус 2 \ldots a_2 5 6 = 4 умножить на \overlinea_n минус 1 a_n минус 2 \ldots a_2 5 6 4.$

равна предпоследней цифре произведения $4 умножить на 56 = 324,$ значит, $a_2 = 2.$ Получаем:

$\overline4 a_n минус 1 a_n минус 2 \ldots 2 5 6 = 4 умножить на \overlinea_n минус 1 a_n минус 2 \ldots 2 5 6 4.$

Далее аналогично: $4 умножить на 25 = 100,$ откуда

$\overline4 a_n минус 1 a_n минус 2 \ldots 0 2 5 6 = 4 умножить на \overlinea_n минус 1 a_n минус 2 \ldots 0 2 5 6 4,$

затем $4 умножить на 02 = 10,$ откуда

$\overline4 a_n минус 1 a_n минус 2 \ldots 1 0 2 5 6 = 4 умножить на \overlinea_n минус 1 a_n минус 2 \ldots 1 0 2 5 6 4,$

Поскольку $4 умножить на 1 = 4,$ верно равенство

$410 256} = 4 умножить на 102 564.$

Спрятать решение · Помощь