PDF-версии: 
Решите уравнение 
в целых числах.
Решение. Указание: разложите на множители.
Разложим на множители:
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответ, но допущен один недочет в обосновании, или одна описка, или одна ошибка вычислительного характера | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ:
5295
в целых числах.
Тогда возможны четыре варианта:
Известно, что разность квадратов x и y является простым числом, в таком случае x − y = 1. Получается, разность искомых чисел равна 1, а сумма равна 101, эти числа — 50 и 51.
в целых числах.
в целых числах.
а потому
в целых числах.
Заметим, что 
оканчивается либо на 4, либо на 9. Однако квадраты целых чисел оканчиваются только на 1, 4, 5, 6, 9, что при умножении на 3 не даёт ни 4, ни 9. Решений нет.
то 
что невозможно. 
то 
что также невозможно. 
то 
откуда 
то 
откуда 
запишем уравнение в виде 
и заметим, что левая часть кратна 4, а правая — нет, так как квадрат числа при делении на 4 дает в остатке 0 или 1, а потому 
при делении на 4 дает в остатке 1 или 2.
в целых числах.
заканчивается на 2 или на 8, так как 
заканчивается на 4 или на 6, тогда 
заканчивается на 7 или на 3 и не может быть равно квадрату целого числа. 
то имеем: 
то есть 
Левая часть уравнения четна и не меньше шести. Значит, и правая часть четна и не меньше шести. Следовательно, число y нечетно и не меньше трех. Положим 
где k — натуральное число. Тогда
либо 
Таким образом, числа m и 
суть степени двойки. Но их разность нечетна, поэтому есть единственная возможность: 
В этом случае 
откуда 
а значит, 
то:
Рассуждая аналогично, заключаем, что m и 
суть степени двойки. Но их разность нечетна, поэтому и в этом случае 
откуда 
а значит, 
и 
равна 2, их наибольший общий делитель d равен 1 или 2. 
то есть если числа 
и 
не имеют общих делителей кроме единицы, то одно из них равно ±3, а другое равно 
Если же 
то одно чисел равно 
а другое равно 
Приведем все возможные варианты в таблице.
в целых числах.
тогда 
что дает
и, следовательно, 
в целых числах.
в целых числах.
то правая часть меньше 1, а левая часть не меньше 1 при любых целых у, поэтому решений нет. Рассматривая случаи 
и 
находим три пары решений: 
и 
Осталось рассмотреть целые x, большие 1. 
правая часть кратна 4, а потому значения y должны быть нечетными. Но квадраты нечетных чисел заканчиваются на 1, 5, 9, а потому при делении на 4 дают в остатке 1. Следовательно, левая часть уравнения при делении на 4 даст в остатке 2, а правая делится без остатка. Поэтому решений нет.
в целых числах.
Сложив уравнения, находим 
откуда 
Вычитая из второго уравнения первое, получаем 
то есть
Тогда исходное уравнение принимает вид 
откуда 
отрицательны: 
Тогда 
а вычитая из второго уравнения первое, находим
откуда 
И в этом случае исходное уравнение принимает вид 
что не дает решений. Следовательно, значение y нечетное. Запишем уравнение в виде 
Тогда 
или 
В любом из случаев 
а 
При таком значении левой части получаем 
то правая часть больше 1, но не больше 2, поэтому равенство невозможно ни при каких целых у. Если 
правая часть нечетна, а значит, и левая часть нечетна. Положим 
то 
то 
откуда 
это невозможно. Если 
то 
вновь получаем 
тогда 
откуда 
и 
в целых числах.
Чтобы сократить перебор случаев, заметим, что неполный квадрат суммы не принимает отрицательных значений, поэтому оба множителя в левой части уравнения положительны. Далее выделим полный квадрат, получим
в третьей 
что невозможно в целых числах. Вторую систему можно записать в виде 
Это система Виета для уравнения 
решениями которого являются числа 1 и 3. Следовательно, 
или 
откуда находим искомые решения: 
или 
должна давать в остатке 1. Это возможно, только если показатель степени x − четное число. Далее, при делении на 3 числа вида 
дают в остатке 1, поэтому и 
при делении на 3 должно давать в остатке 1, из чего следует, что z — четное число.
и, используя формулу разности квадратов, запишем уравнение 
в виде
Следовательно, меньший множитель равен 1, то есть 
и 
является степенью двойки, что возможно только при 
Тогда 
а значит, 
откуда 
Следовательно, уравнение 
откуда 
в целых числах.
откуда 
Аналогично для 
или 
а потому сумма любых двух из них не больше 1. Но тогда третья дробь не может быть отрицательной, а значит, при 
уравнение не имеет отрицательных решений. Будем искать натуральные решения уравнения, считая, что 
В силу симметрии слагаемых остальные решения, как и выше, получатся перестановками.
причем 
откуда находим решения 
или 
то уравнение принимает вид 
причем 
и одновременно 
откуда 
то 
а потому исходное уравнение не имеет решений.
или 
взятые в каком-либо порядке.
в целых числах.
при делении на 7 дает остатки 1, 2 и 3, то есть не делится на 7. Следовательно, уравнение не имеет решений.