РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 26 № 6181 Добавить в вариант

Решите уравнение $y в кубе минус x в кубе = 9$ в целых числах.

Решение.

Ясно, что $левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс xy плюс y в квадрате правая круглая скобка = 9.$ Чтобы сократить перебор случаев, заметим, что неполный квадрат суммы не принимает отрицательных значений, поэтому оба множителя в левой части уравнения положительны. Далее выделим полный квадрат, получим

$левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка в квадрате плюс 3xy правая круглая скобка = 9,$

откуда

$система выражений x минус y = 1,1 плюс 3xy = 9, конец системы . или система выражений x минус y = 3,9 плюс 3xy = 3, конец системы . или система выражений x минус y = 9,81 плюс 3xy = 1. конец системы .$

В первой из полученных систем $3xy = 8,$ в третьей $3xy = минус 80,$ что невозможно в целых числах. Вторую систему можно записать в виде $x плюс левая круглая скобка минус y правая круглая скобка = 3,$ $x умножить на левая круглая скобка минус y правая круглая скобка = 2.$ Это система Виета для уравнения $t в квадрате минус 3t плюс 2 = 0,$ решениями которого являются числа 1 и 3. Следовательно, $x = 1,$ $минус y = 2$ или $x = 2,$ $минус y = 1,$ откуда находим искомые решения: $x = 1,$ $y = минус 2,$ или $x = 2,$ $y = минус 1.$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка x; y правая круглая скобка : левая круглая скобка 1; минус 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 2; 1 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Спрятать решение · Помощь