РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 26 № 7088 Добавить в вариант

Найдите все пары натуральных чисел (x, y), для которых $3 умножить на 2 в степени x плюс 1 = y в квадрате .$

Решение.

Запишем уравнение в виде $3 умножить на 2 в степени x = левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка .$ Левая часть уравнения четна и не меньше шести. Значит, и правая часть четна и не меньше шести. Следовательно, число y нечетно и не меньше трех. Положим $y = 2k плюс 1,$ где k  — натуральное число. Тогда

$3 умножить на 2 в степени x = 2k левая круглая скобка 2k плюс 2 правая круглая скобка = 4k левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка .$

Левая часть кратна трем, следовательно, $k = 3m,$ либо $k плюс 1 = 3m.$

Если $k = 3m,$ то:

$3 умножить на 2 в степени x = 4 умножить на 3m левая круглая скобка 3m плюс 1 правая круглая скобка ,$

откуда $2 в степени x = 4 умножить на m левая круглая скобка 3m плюс 1 правая круглая скобка .$ Таким образом, числа m и $3m плюс 1$ суть степени двойки. Но их разность нечетна, поэтому есть единственная возможность: $m=1.$ В этом случае $k=3,$ откуда $y=7,$ а значит, $x=4.$

Если $k плюс 1 = 3m,$ то:

$3 умножить на 2 в степени x = 4 умножить на левая круглая скобка 3m минус 1 правая круглая скобка умножить на 3m,$

откуда $2 в степени x = 4 умножить на левая круглая скобка 3m минус 1 правая круглая скобка m.$ Рассуждая аналогично, заключаем, что m и $3m минус 1$ суть степени двойки. Но их разность нечетна, поэтому и в этом случае $m=1.$ Тогда $k=2,$ откуда $y=5,$ а значит, $x=3.$

Ответ: $левая круглая скобка 3, 5 правая круглая скобка , левая круглая скобка 4, 7 правая круглая скобка .$

Примечание.

См. также задачу 7089.

Спрятать решение · Помощь