РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 26 № 6180 Добавить в вариант

Решите уравнение $y в квадрате = 2 в степени x плюс 1$ в целых числах.

Спрятать решение

Решение.

1 способ. Запишем уравнение в виде

$левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка = 2 в степени x ,$

откуда получаем, что $y минус 1 = 2 в степени m ,$ $y плюс 1 = 2 в степени n .$ Сложив уравнения, находим $2y = 2 в степени m плюс 2 в степени n ,$ откуда $y = дробь: числитель: 2 в степени m плюс 2 в степени n , знаменатель: 2 конец дроби .$ Вычитая из второго уравнения первое, получаем $y плюс 1 минус левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка = 2,$ то есть

$2 в степени n минус 2 в степени m = 2 равносильно 2 в степени m левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус m правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = 2.$

Множитель 2^m положителен при всех m, а потому возможны лишь следующие случаи:

$система выражений 2 в степени m = 1,2 в степени левая круглая скобка n минус m правая круглая скобка минус 1 = 2 конец системы . или система выражений 2 в степени m = 2,2 в степени левая круглая скобка n минус m правая круглая скобка минус 1 = 1. конец системы .$

Первый случай невозможен, во втором случае получаем $m=1,$ $n=2,$ откуда $y = дробь: числитель: 2 плюс 2 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = 3.$ Тогда исходное уравнение принимает вид $2 в степени x = 8,$ откуда $x = 3.$

Осталось рассмотреть случай, когда множители в левой части уравнения $левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка = 2 в степени x$ отрицательны: $y минус 1 = минус 2 в степени m ,$ $y плюс 1 = минус 2 в степени n .$ Тогда $y = минус дробь: числитель: 2 в степени m плюс 2 в степени n , знаменатель: 2 конец дроби ,$ а вычитая из второго уравнения первое, находим

$минус левая круглая скобка 2 в степени n минус 2 в степени m правая круглая скобка = 2 равносильно 2 в степени m минус 2 в степени n = 2.$

От предыдущего случая это уравнение отличается только переменой букв, поэтому сразу получаем $n=1,$ $m=2,$ откуда $y = минус дробь: числитель: 2 в квадрате плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби = минус 3.$ И в этом случае исходное уравнение принимает вид $2 в степени x = 8,$ откуда $x = 3.$

Ответ: $левая круглая скобка 3; минус 3 правая круглая скобка , левая круглая скобка 3; 3 правая круглая скобка .$

2 способ. Заметим, что в уравнении $y в квадрате = 2 в степени x плюс 1$ левая часть может быть четной, только если $x=0,$ что не дает решений. Следовательно, значение y нечетное. Запишем уравнение в виде

$левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка = 2 в степени x$

и положим $y минус 1 = \pm 2 в степени m ,$ $y плюс 1 = \pm 2 в степени n .$ Тогда

$y = \pm дробь: числитель: 2 в степени m плюс 2 в степени n , знаменатель: 2 конец дроби .$

Правая часть полученного выражения нечетна, только если $m=0$ или $n=0.$ В любом из случаев $y = \pm 3,$ а $y в квадрате = 9.$ При таком значении левой части получаем $2 в степени x = 8,$ а значит, $x = 3.$

Ответ: $левая круглая скобка 3; минус 3 правая круглая скобка , левая круглая скобка 3; 3 правая круглая скобка .$

3 способ. Если $x меньше или равно 0,$ то правая часть больше 1, но не больше 2, поэтому равенство невозможно ни при каких целых у. Если $x больше 0,$ правая часть нечетна, а значит, и левая часть нечетна. Положим $y = 2k плюс 1,$ тогда:

$левая круглая скобка 2k плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 2 в степени x плюс 1 равносильно 4k в квадрате плюс 4k = 2 в степени x равносильно 4k левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка = 2 в степени x .$

Одно из двух идущих подряд целых чисел k и k + 1непременно нечетно, а потому поэтому равно 1 или −1. Если $k = 1,$ то $2 в степени x = 8,$ а значит, $x=3.$ Если $k = минус 1,$ то $k плюс 1 = 0,$ откуда $2 в степени x = 0,$ это невозможно. Если $k плюс 1 = 1,$ то $k = 0,$ вновь получаем $2 в степени x = 0,$ что невозможно. Наконец, если $k плюс 1 = минус 1,$ тогда $k = минус 2,$ откуда $2 в степени x = 8$ и $x=3.$

Ответ: $левая круглая скобка 3; минус 3 правая круглая скобка , левая круглая скобка 3; 3 правая круглая скобка .$

Спрятать решение · Помощь