РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 26 № 7089 Добавить в вариант

Найдите все пары целых чисел (x, y), для которых $3 умножить на 2 в степени x плюс 1 = y в квадрате .$

Спрятать решение

Решение.

Запишем уравнение в виде

$3 умножить на 2 в степени x = левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка .$

Правая часть неравенства целая, значит, и левая часть целая. Разность двух чисел кратна их наибольшему общему делителю. Поскольку разность чисел $y плюс 1$ и $y минус 1$ равна 2, их наибольший общий делитель d равен 1 или 2.

Если $d = 1,$ то есть если числа $y минус 1$ и $y плюс 1$ не имеют общих делителей кроме единицы, то одно из них равно ±3, а другое равно $\pm 2 в степени x .$ Если же $d = 2,$ то одно чисел равно $\pm 3 умножить на 2,$ а другое равно $\pm 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка .$ Приведем все возможные варианты в таблице.

$y минус 1$	$y плюс 1$	Число y	Тогда	Число x
−3	$минус 2 в степени x$	−2	$2 в степени x = 1$	0
3	$2 в степени x$	4	$2 в степени x = 5$	—
$минус 2 в степени x$	−3	−4	$2 в степени x = 5$	—
$2 в степени x$	3	2	$2 в степени x = 1$	0
6	$2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка$	7	$2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = 8$	4
−6	$минус 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка$	−5	$минус 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = минус 4$	3
$минус 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка$	−6	−7	$минус 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = минус 8$	4
$2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка$	6	5	$2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = 4$	3

Ответ: (0, ±2), (3, ±5), (4, ±7).

Примечание.

См. также задачу 7088.

Спрятать решение · Помощь