РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 26 № 6182 Добавить в вариант

Решите в натуральных числах уравнение $3 в степени x плюс 4 в степени y = 5 в степени z .$

Решение.

Покажем, что числа х и z четные. Действительно, стоящая в правой части уравнения степень числа 5 при делении на 4 дает в остатке 1, значит, и степень $3 в степени x$ должна давать в остатке 1. Это возможно, только если показатель степени x  − четное число. Далее, при делении на 3 числа вида $4 в степени y$ дают в остатке 1, поэтому и $5 в степени z$ при делении на 3 должно давать в остатке 1, из чего следует, что z  — четное число.

Положим тогда $x = 2n,$ $z = 2m,$ и, используя формулу разности квадратов, запишем уравнение $3 в степени x = 5 в степени z минус 4 в степени y$ в виде

$3 в степени левая круглая скобка 2n правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка 2m правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 2y правая круглая скобка = левая круглая скобка 5 в степени m минус 2 в степени y правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени m плюс 2 в степени y правая круглая скобка .$

Полученные множители не могут быть кратны 3 одновременно, поскольку тогда их сумма была бы кратна 3, а она равна $2 умножить на 5 в степени m .$ Следовательно, меньший множитель равен 1, то есть $5 в степени m минус 2 в степени y = 1$ и $5 в степени m плюс 2 в степени y = 3 в степени левая круглая скобка 2n правая круглая скобка .$

Найдем разность последнего и предпоследнего уравнений:

$2 умножить на 2 в степени y = 3 в степени левая круглая скобка 2n правая круглая скобка минус 1 = левая круглая скобка 3 в степени n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени n плюс 1 правая круглая скобка .$

Оба множителя полученного произведения больше 1, и, значит, являются степенями двойки. Следовательно, и их сумма, равная $2 умножить на 3 в степени n ,$ является степенью двойки, что возможно только при $n = 0.$ Тогда $2 умножить на 2 в степени y = 8,$ а значит, $y = 2.$

Далее, из уравнения $5 в степени m минус 2 в степени y = 1$ находим $m = 1,$ откуда $z = 2.$ Следовательно, уравнение $3 в степени x = 5 в степени z минус 4 в степени y$ принимает вид $3 в степени x = 5 в квадрате минус 4 в квадрате ,$ откуда $x = 2.$

Ответ: $x = y = z = 2.$

Спрятать решение · Помощь