PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 
имеет ровно один корень на 
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 
имеет ровно один корень на 
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 
имеет ровно три различных решения.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 
имеет ровно три различных корня.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 
имеет единственное решение.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 
имеет единственное решение.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 
имеет ровно два решения.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 
имеет ровно два решения.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 
имеет ровно два решения.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 
имеет ровно два решения.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 
имеет решения на отрезке 
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 
имеет решения на отрезке 
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение уравнение 
имеет хотя бы один корень.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение уравнение 
имеет хотя бы один корень.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение существует хотя бы одна пара чисел x и y, для которых справедливо неравенство 
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение существует хотя бы одна пара чисел x и y, для которых справедливо неравенство 
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение неравенство 
выполняется для всех значений х..
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение неравенство 
не имеет решений.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение система 
имеет единственное решение.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение система 
имеет единственное решение.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение система 
имеет единственное решение.
Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
имеет единственное решение для любого b.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение система 
имеет единственное решение для любого b..
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет ровно два решения.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет ровно два решения.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет единственное решение.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет единственное решение.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет единственное решение.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет единственное решение.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет единственное решение.
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет более двух решений.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет ровно два решения.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет единственное решение.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет единственное решение.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет ровно два решения.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет ровно два решения.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет хотя бы одно решение на отрезке 
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет хотя бы одно решение на отрезке 
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых Система 
не имеет решений.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых Система 
имеет решения.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет более одного решения.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет более одного решения.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет ровно четыре различных решения.
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение система 
имеет единственное решение.
откуда на ОДЗ либо 
либо 
Рассмотрим эти случаи.
при условиях:
лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем: 
лежит на отрезке [0; 1], если 
Тогда для второго случая получаем: 
если 
и рассмотрим два случая.
этот корень лежит на отрезке [0;1]. Остается проверить условия: 
лежит на отрезке [0; 1] при 
Для второго случая получаем 
и 
совпадают при 
и 
и уравнение 
имеет два различных отличных от нуля решения, удовлетворяющих условию 
и произведение равно 
значит, его корни a и 
причём 
Найденные корни удовлетворяют условию (*), если
a — любое число;
при условии 
или 
и 
уравнение имеет не более двух различных корней. При остальных значениях a числа 
различны.
получаем:
получаем: 
при всех значениях a.
поэтому получаем: если a = 0, то t > 0; если 
то 
Поскольку при a = 0 решением являются все положительные значения t, уравнение имеет единственное решение, если 
Тогда, в силу того, что функция 
монотонна, исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда уравнение 
имеет единственный положительный корень.
левая часть полученного уравнения отрицательная, а правая неотрицательная, поэтому полученное уравнение не имеет корней, меньших a.
получаем: 
получаем единственный корень: 
Для этого корня должны выполняться условия 
выполняется при 
выполняется при 
тогда получим:
или 
в зависимости от a и 
При 
и 
и 
то есть при 
левая часть определена и принимает вид
выражение 
принимает по одному все значения из промежутка 
для 
и принимает по одному разу все значения из промежутка 
для 
Значит, при 
принимает по одному разу все значения из промежутка 
при 
при 
и не имеет решений при 
и 
При 
уравнение принимает вид 
и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.
и 
могут иметь общие решения при 
то есть при 
При 
оба уравнения принимают вид 
и имеют одно решение.
и 
имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:
тогда уравнение запишется в виде
или 
в зависимости от a и 
принимает по одному разу все значения из промежутка 
и 
могут иметь общие решения при 
то есть при 
При 
оба уравнения принимают вид 
и имеют одно решение.
тогда исходное уравнение принимает вид:
или 
в зависимости от a и 
решений нет. Запишем уравнение в виде 
График левой части этого уравнения — график модуля с вершиной в точке 
график правой части — график модуля, отражённый относительно 
Это уравнение будет иметь два решения, если одновременно прямая 
лежит правее (выше) прямой 
и прямая 
лежит левее (выше) прямой 
Это достигается условиями 
и 
Таким образом, уравнение совокупности имеет два решения при условии:
находится внутри части плоскости отсекаемой графиком 
то уравнение имеет два решения, если прямые 
и 
совпадает с точкой 
или 
или 
откуда 
При данном значении a оба уравнения принимают вид:
и 
(изображены синим пунктиром) разбивают плоскость xOa на четыре части, в каждой из которых модули снимаются одинаково.
и 
Получаем
Тогда 
и 
или 
исходное уравнение имеет два решения, при 
или 
исходное уравнение имеет бесконечное число решений, при 
исходное уравнение не имеет решений.
тогда исходное уравнение принимает вид:
(1)
(2)
или 
Исследуем сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от a и 
Левая часть этого уравнения — график модуля с вершиной в точке 
график правой части — график модуля, с вершиной в точке 
и прямая 
либо, если одновременно прямая 
Получаем совокупность двух систем уравнений:
(3)
тогда из неравенства
принадлежат два числа 
и 
тогда имеем:
Подставляя его в неравенство, получаем: 
откуда 
принадлежат два числа 
и 
Подставляя его в неравенство (2), имеем: 
возрастает при 
достигает в нуле наименьшего значения, 
Функция g непрерывна, является кусочно-линейной, при 
ее угловой коэффициент равен либо 3, либо 9, при 
угловой коэффициент равен
убывает при 
в нуле достигает наибольшего значения, 
Следовательно, исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда наименьшее значение функции f не превосходит наибольшего значения функции g, то есть тогда и только тогда, когда 
Имеем: 
и 
то условия 
выполнено, но уравнение 
решений не имеет.
и 
угловой коэффициент равен либо −2, либо −8, а при 
угловой коэффициент равен либо 2, либо 8. Значит, функция f(x) убывает при 
и возрастает при 
поэтому 
получаем: 
то 
поэтому неравенство 
не имеет решений.
то пара чисел 
удовлетворяет неравенству 
Получаем:
тогда 
следовательно, 
Раскроем модули, рассмотрим четыре случая.
Имеем:
Имеем:
и 
следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; 1). Найдем точку пересечения прямых a1 и x2:
Следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты 
следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; 1). Найдем точку пересечения прямых a2 и x2: 
следовательно, 
Точка пересечения прямых имеет координаты 
следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; −5). Найдем точку пересечения прямых a3 и x2: 
следовательно, 
следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; −5). Найдем точку пересечения прямых a4 и x2: 
следовательно, 
Точка пересечения прямых имеет координаты 
а D соответствует 
Подходящие a: 
и 
угловой коэффициент равен либо −1, либо −7, а при 
угловой коэффициент равен либо 1, либо 7. Значит, функция f(x) убывает при 
и возрастает при 
поэтому 
то 
поэтому неравенство 
то пара чисел 
удовлетворяет неравенству 
Ввиду того, что 
множеством значений выражения 
при 
является промежуток 
Значит, неравенство 
выполняется для всех действительных значений x тогда и только тогда, когда на промежутке 
выполняется неравенство 
то неравенство 
не имеет решений на промежутке 
поскольку на этом промежутке оба слагаемых левой части неравенства отрицательны;
то неравенство 
должна быть положительна на промежутке 
(см. рис.). Решая неравенство 
с учетом условия 
имеет координаты 
функция 
то есть промежуток 
Таким образом, неравенство 
верно для всех t из промежутка 
откуда с учетом условия 
Ввиду того, что 
множество значений выражения 
при 
Значит, неравенство 
не имеет решений тогда и только тогда, когда на промежутке 
неравенство 
так как на этом промежутке оба слагаемых левой части неравенства отрицательны;
должна быть неположительна на промежутке 
оси абсцисс, то есть, должно выполняться условие 
Решая неравенство 
получаем 
имеет координаты 
функция 
, то есть промежуток 
Таким образом, неравенство 
неверно для всех t из промежутка 
является решением этой системы, то и пара чисел 
тоже является ее решением. Поэтому если решение единственно, в нем должно выполняться условие 
Тогда второе уравнение дает 
то есть 
а первое дает 
откуда 
Тогда второе превратится в основное тригонометрическое тождество и будет выполнено. Значит, у системы бесконечно много решений. 
то второе уравнение не может выполняться. Значит, 
что возможно только при 
строгое. Итак, при 
тогда система примет вид:
тоже является ее решением. Поэтому если решение единственно, в нем должно выполняться условие 
Тогда второе уравнение системы дает 
откуда 
подходит в нее всегда. Возьмем теперь 
при этом обнуляется 
и второе уравнение будет выполнено при любом x. Первое уравнение примет вид 
откуда 
и можно взять 
Итак, при 
есть как минимум три решения. Такое a не подходит.
система принимает вид:
откуда 
и можно взять 
Итак, при 
есть как минимум три решения. Такое a не подходит.
или 
центр которой ― точка 
― лежит на прямой 
Поскольку оба графика симметричны относительно прямой 
система будет иметь ровно два решения тогда и только тогда, когда расстояние PK от центра окружности до прямой 
будет равняться радиусу 
данной окружности. Из треугольника POK находим: 
где 
― угловой коэффициент прямой 
Таким образом, 
откуда 
или 
или 
графиком уравнения (2) является точка (-1; -1) и система не может иметь более одного решения.
графиком уравнения (2) является окружность радиуса 
― лежит на прямой 
Поскольку оба графика симметричны относительно прямой 
система будет иметь ровно два решения тогда и только тогда, когда расстояние PK от центра окружности до прямой 
будет равняться радиусу 
― угловой коэффициент прямой 
Таким образом, 
откуда 
при любом a, то корни этой функции имеют разные знаки. В этом случае единственный положительный корень функции 
лежит на отрезке 1 ≤ x ≤ 5 тогда и только тогда, когда 
и 
Получаем систему:
то есть 
и по условию a — целое число, то решениями неравенства могут быть только 
Из этих условий проверкой получаем все решения: −2, ±1, 0.
при любом a, то корни этой функции имеют разные знаки. Известно, что в этом случае единственный положительный корень функции 
лежит на отрезке 2 ≤ x ≤ 5 тогда и только тогда, когда 
и 
то есть 
и по условию a — целое число, то решениями неравенства могут быть только 
Из этих условий проверкой получаем все решения: −2, ±1, 0.
задаёт на плоскости полосу, граница которой — пара параллельных прямых: 
и 
то система не имеет решений, поскольку правая часть уравнения становится отрицательной. Если 
то уравнение принимает вид: 
и задаёт единственную точку 
координаты которой удовлетворяют неравенству: 
Следовательно, при 
Тогда уравнение 
определяет окружность радиусом 
Центр 
окружности лежит на прямой y=2x, которая перпендикулярна граничным прямым полосы и пересекает их в точках 
и 
Система имеет единственное решение, если только окружность внешним образом касается полосы в точке A или в точке 
Если точка касания — A, то 
что невозможно. Окружность касается полосы в точке B, только если 
и 
Получаем:
задаёт на плоскости полосу, граница которой — пара параллельных прямых: 
и 
то система не имеет решений, поскольку правая часть уравнения становится отрицательной. Если 
то уравнение принимает вид: 
и задаёт единственную точку 
координаты которой удовлетворяют неравенству: 
Следовательно, при 
система имеет единственное решение.
Тогда уравнение 
определяет окружность радиусом 
Центр 
окружности лежит на прямой 
которая перпендикулярна граничным прямым полосы и пересекает их в точках 
и 
Система имеет единственное решение, если только окружность внешним образом касается полосы в точке A или в точке 
что невозможно, поскольку 
то уравнение 
задаёт окружность 
с центром в точке 
радиуса 2, а если 
то оно задаёт окружность 
с центром в точке 
того же радиуса (см. рис.).
задает окружность 
с центром в точке 
радиуса а. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра а, при каждом из которых окружность 
и 
и обозначим 
и 
точки его пересечения с окружностью 
то 
или 
окружности 
окружности 
или 
окружности 
и обозначим 
и 
точки его пересечения с окружностью 
где 
то 
или 
окружности 
окружности 
или 
окружности 
то условию задачи удовлетворяют только числа 
и 
и 
радиуса 
симметричные относительно оси ординат. Центры этих окружностей — точки 
и 
Второе уравнение — уравнение окружности 
но не имеет общих точек с другой окружностью.
и 
и обозначим 
точки их пересечения с окружностями 
поэтому 
и 
Значит, если 
то 
Если 
то 
но не имеет общих точек с 
и 
:
Значит, если 
то 
то 
или 
и 
окружностей радиуса 
с центрами в точках 
и 
лежащих ниже и выше прямой 
соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках 
и 
Заметим, что точка касания 
лежит на дуге 
перпендикулярна прямой 
поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1.
или совпадающую с ней.
прямая m пересекает каждую из дуг 
прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.
прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг 
то есть исходная система имеет два решения.
прямая m касается дуг 
или 
прямая m пересекает каждую из дуг 
прямая m пересекает каждую из дуг 
или 
прямая m не пересекает дуги 
или 
то получаем уравнение
и радиусом 
то получаем уравнение
и радиусом 
и 
лежащих на прямой 
поэтому в первом случае получаем дугу 
прямая m проходит через точки A и B, то есть исходная система имеет два решения.
прямая m перпендикулярна прямой O1B, угловой коэффициент которой равен 
значит, прямая m касается дуги 
значит, прямая m касается дуги 
или 
прямая m пересекает каждую из дуг 
прямая m пересекает дугу 
прямая m пересекает дугу 
значит, 
Учитывая, что 
и 
Решим уравнение 
являются искомыми.
где b = a + 1. Если при параллельном переносе полуокружности F на вектор 
полученная полуокружность имеет общую точку с F, то это же справедливо и при параллельном переносе полуокружности F на вектор 
Поэтому искомое множество значений параметра а симметрично относительно точки a = −1, значит, искомыми значениями 
имеет с графиком системы
и график корня 
пересекаются в точке A(2; 1). Гипербола и прямая 
пересекаются в точке 
График корня и прямая пересекаются в точке C(5; 2). Множество точек, координаты которых удовлетворяют заданной системе (выделено штриховкой на рисунке), состоит из точек криволинейного треугольника ABC, не включая границу, лежащую на дуге АС.
дают искомое множество: заданная система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4] при 
имеющий общие точки с отрезком [3; 4].
то 
Тогда решением системы является отрезок 
Он существует, если
это решение лежит на отрезке [3; 4]. 
В этом случае решением системы является полуинтервал 
Этот полуинтервал существует, если
то неравенство, а значит, и система не имеет решений. 
то решение неравенства — луч 
то решение неравенства — луч 
первое неравенство системы принимает вид
Очевидно, что при 
решение системы будет содержать луч вида 
где b — большее из чисел 
и 
а значит, система будет иметь решение.
первое неравенство исходной системы, а значит, и система не будет иметь решений. В остальных случаях решением первого неравенства исходной системы будет полуинтервал с концами в точках 
Отметим, что точки 
нет во множестве решений первого неравенства. 
получаем ответ.
Если 
Если 
первое неравенство системы принимает вид: 
Если 
где b меньшее из чисел 
и 
а значит система будет иметь решение.
необходимо и достаточно:
Решения второго уравнения — точки прямой 
Следовательно, система имеет более одного решения тогда и только тогда, когда расстояние от центра окружности (3a − 1, −2a) до прямой 
меньше радиуса 
данной окружности. Получаем систему:
Решения второго уравнения — точки прямой 
Следовательно, система имеет более одного решения тогда и только тогда, когда расстояние от центра окружности (−2a, − 3a − 1) до прямой 
меньше радиуса 
данной окружности. Получаем систему:
и заметим, что 
Очевидно, число решений системы будет совпадать с числом решений уравнения 
Очевидно, 
является его решением при всех a.
уравнение сводится к 
Это уравнение имеет два положительных корня, если 
то есть при 
и один положительный корень при 
или 
уравнение сводится к 
Это уравнение имеет два отрицательных корня, если 
то есть при 
и один отрицательный корень при 
или 
и заметим, что 
Очевидно, число решений системы будет совпадать с числом решений уравнения 
Очевидно, 
Это уравнение имеет два положительных корня, если 
то есть при 
и один положительный корень при 
Это уравнение имеет два отрицательных корня, если 
то есть при 
и один отрицательный корень при 
или 
система будет иметь два решения;
система будет иметь четыре решения;
система будет иметь четыре решения;
система будет иметь два решения.
