Пусть (x, y)  — ре­ше­ние си­сте­мы. Тогда при любом зна­че­нии па­ра­мет­ра a левая часть пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы есть сумма рас­сто­я­ний от точки (x, y) до точек (1, a) и (5, a), ле­жа­щих на пря­мой y  =  a , па­рал­лель­ной оси абс­цисс. Но рас­сто­я­ние между точ­ка­ми (1, a) и (5, a) равно 4, и по­это­му ре­ше­ние пер­во­го урав­не­ния  — мно­же­ство точек (x, y), причём 1 ≤ x ≤ 5, y  =  a, по­сколь­ку иначе

Сле­до­ва­тель­но, дан­ная си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда вто­рое урав­не­ние си­сте­мы имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на от­рез­ке 1 ≤ x ≤ 5.

Рас­смот­рим квад­ра­тич­ную функ­цию

Её гра­фик  — па­ра­бо­ла, на­прав­лен­ная вет­вя­ми вверх. По­сколь­ку сво­бод­ный при любом a, то корни этой функ­ции имеют раз­ные знаки. В этом слу­чае един­ствен­ный по­ло­жи­тель­ный ко­рень функ­ции лежит на от­рез­ке 1 ≤ x ≤ 5 тогда и толь­ко тогда, когда и По­лу­ча­ем си­сте­му:

По­сколь­ку любое ре­ше­ние по­лу­чен­но­го не­ра­вен­ства долж­но удо­вле­тво­рять усло­вию то есть и по усло­вию a  — целое число, то ре­ше­ни­я­ми не­ра­вен­ства могут быть толь­ко Из этих усло­вий про­вер­кой по­лу­ча­ем все ре­ше­ния: −2, ±1, 0.

Ответ: −2, ±1, 0.