Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.14. Найдите все значения параметра a, при которых
i
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система имеет единственное решение.
Решение.
Пусть (x, y) — решение системы. Тогда при любом значении параметра a левая часть первого уравнения системы есть сумма расстояний от точки (x, y) до точек (1, a) и (5, a), лежащих на прямой y = a , параллельной оси абсцисс. Но расстояние между точками (1, a) и (5, a) равно 4, и поэтому решение первого уравнения — множество точек (x, y), причём 1 ≤ x ≤ 5, y = a, поскольку иначе
Следовательно, данная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда второе уравнение системы имеет единственное решение на отрезке 1 ≤ x ≤ 5.
Рассмотрим квадратичную функцию
Её график — парабола, направленная ветвями вверх. Поскольку свободный при любом a, то корни этой функции имеют разные знаки. В этом случае единственный положительный корень функции лежит на отрезке 1 ≤ x ≤ 5 тогда и только тогда, когда и Получаем систему:
Поскольку любое решение полученного неравенства должно удовлетворять условию то есть и по условию a — целое число, то решениями неравенства могут быть только Из этих условий проверкой получаем все решения: −2, ±1, 0.
Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.14. Найдите все значения параметра a, при которых
i
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система имеет единственное решение.
Решение.
Пусть (x, y) — решение системы. Тогда при любом значении параметра a левая часть первого уравнения системы есть сумма расстояний от точки (x, y) до точек (2, a) и (5, a), лежащих на прямой y = a , параллельной оси абсцисс. Но расстояние между точками (2, a) и (5, a) равно 3, и поэтому решение первого уравнения — множество точек (x, y), причём 2 ≤ x ≤ 5, y = a, поскольку иначе
Следовательно, данная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда второе уравнение системы имеет единственное решение на отрезке 2 ≤ x ≤ 5.
Рассмотрим квадратичную функцию
Её график — парабола, направленная ветвями вверх. Поскольку свободный член при любом a, то корни этой функции имеют разные знаки. Известно, что в этом случае единственный положительный корень функции лежит на отрезке 2 ≤ x ≤ 5 тогда и только тогда, когда и Получаем систему
Поскольку любое решение полученного неравенства должно удовлетворять условию то есть и по условию a — целое число, то решениями неравенства могут быть только Из этих условий проверкой получаем все решения: −2, ±1, 0.
имеет единственное решение.
при любом a, то корни этой функции имеют разные знаки. В этом случае единственный положительный корень функции 
лежит на отрезке 1 ≤ x ≤ 5 тогда и только тогда, когда 
и 
Получаем систему:
то есть 
и по условию a — целое число, то решениями неравенства могут быть только 
Из этих условий проверкой получаем все решения: −2, ±1, 0.
имеет единственное решение.
при любом a, то корни этой функции имеют разные знаки. Известно, что в этом случае единственный положительный корень функции 
лежит на отрезке 2 ≤ x ≤ 5 тогда и только тогда, когда 
и 
то есть 
и по условию a — целое число, то решениями неравенства могут быть только 
Из этих условий проверкой получаем все решения: −2, ±1, 0.