Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 24 № 4856
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма  си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка y минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2y минус x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0,  новая стро­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: |a плюс 1|, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби  конец си­сте­мы . имеет ровно два ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Не­ра­вен­ство за­да­ет пару вер­ти­каль­ных углов на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти Oxy (см. рис.). Гра­фи­ком урав­не­ния яв­ля­ет­ся окруж­ность ра­ди­у­са R= дробь: чис­ли­тель: \left| a плюс 1 |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , центр ко­то­рой ― точка P левая круг­лая скоб­ка минус a;a пра­вая круг­лая скоб­ка ― лежит на пря­мой y= минус x. По­сколь­ку оба гра­фи­ка сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но пря­мой y= минус x, си­сте­ма будет иметь ровно два ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда рас­сто­я­ние PK от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой y=2x будет рав­нять­ся ра­ди­у­су R= дробь: чис­ли­тель: \left| a плюс 1 |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби дан­ной окруж­но­сти. Из тре­уголь­ни­ка POK на­хо­дим: PK=PO синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс альфа пра­вая круг­лая скоб­ка , где \operatorname тан­генс альфа ― уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x. Таким об­ра­зом, \operatorname тан­генс альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,  ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс \operatorname тан­генс конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , синус альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , от­ку­да

PK=PO левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­си­нус альфа плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби синус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3\left| a |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем:  дробь: чис­ли­тель: 3\left| a |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \left| a плюс 1 |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,3a=\pm левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби или a= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби или a= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .


Аналоги к заданию № 4856: 4857 Все