PDF-версии: 1. Тип 18 № 5047 
Множества точек координатной плоскости.11. Для каждой из функций постройте нелинейными преобразованиями графики
i
Постройте график функции 
Решение. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина лежит в начале координат. График симметричен относительно оси ординат. На луче 
функция f убывает, на луче 
функция f возрастает. В точке 0 функция f достигает своего наименьшего значения 
При стремлении х к −∞, у стремится к +∞, при стремлении х к +∞, у также стремится к +∞. Найдем дополнительные значения: 
и 
Эскиз графика изображен на рисунке.
Ответ:
Ответ: 
5047
постройте нелинейными преобразованиями график 
если 
функция 
принимает вид 
Построим параболу — график функции f. Этот график симметричен относительно оси ординат, а значит, и искомый график функции у симметричен относительно оси ординат. Заметим, что функция f принимает только неотрицательные значения, а потому промежутки монотонности функций y и f совпадают: на луче 
При стремлении х к −∞, у стремится к +∞, при стремлении х к +∞, у также стремится к +∞.
и 
Эскиз графика изображен на рисунке.
если 
принимает вид 
Построим параболу — график функции f. Этот график симметричен относительно оси ординат, а значит, и искомый график функции у симметричен относительно оси ординат. Заметим, что функция y убывает на тех промежутках, где функция f возрастает, и наоборот. Функция y принимает наибольшее значение в точке x = 0, где функция f принимает наименьшее значение: 
При стремлении х к ±∞, значения у стремятся к 0, оставаясь положительными. Поэтому ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика функции y, график приближается к асимптоте сверху.
Найдем дополнительные значения: 
и 
Эскиз графика изображен на рисунке.
постройте нелинейными преобразованиями график 
сдвигом его на единицу вверх по оси 
Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина лежит в точке 
График симметричен относительно оси ординат. На луче 
функция f убывает, на луче 
функция f возрастает. В точке 1 функция f достигает своего наименьшего значения 
При стремлении х к −∞, у стремится к +∞, при стремлении х к +∞, у также стремится к +∞. Найдем дополнительные значения: 
и 
Эскиз графика изображен на рисунке.
получается из графика функции 
(отмечен красным) растяжением относительно оси 
При стремлении х к −∞, у стремится к +∞, при стремлении х к +∞, у также стремится к +∞. Найдем дополнительные значения: 
и 
Эскиз графика изображен синим цветом на рисунке.
График приближается к ним сверху.
функция 
принимает вид 
Построим параболу — график функции f (отмечен зелёным). Этот график симметричен относительно оси ординат, а значит, и искомый график функции у симметричен относительно оси ординат. Заметим, что функция y убывает на промежутке 
а возрастает на промежутке 
Функция y принимает наименьшее значение в точке x = 2. При стремлении х к ±∞, значения у стремятся к +∞, оставаясь положительными. Поэтому горизонтальных асимптот искомый график не имеет.
Найдем дополнительные значения: 
и 
Эскиз графика отмечен на рисунке синим цветом.
принимает вид 
Заметим, что искомый график достигает своего наименьшего значения в начале координат и симметричен относительно оси ординат. Аргумент логарифма не принимает отрицательных значений, следовательно, весь график лежит выше оси абсцисс, имея точку касания лишь в начале координат. При приближении x к 
аргумент логарифма увеличивается, оставаясь положительным и превышающим 1, значит, y приближается к 
Горизонтальных асимптот график не имеет. Заметим, что функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке 
Эскиз графика отмечен на рисунке.
постройте нелинейными преобразованиями график 
График симметричен относительно оси ординат. На луче 
функция f убывает, на луче 
функция f возрастает. В точке -1 функция f достигает своего наименьшего значения 
При стремлении х к −∞, у стремится к +∞, при стремлении х к +∞, у также стремится к +∞. Найдем дополнительные значения: 
и 
Эскиз графика изображен на рисунке.
Заметим, что 
значит, функция достигает наименьшего значения сразу в двух точках: 
и 
Точка пересечения искомого графика с осью Oy совпадает с точкой пересечения графиков парабол с этой же осью — в точке 
и 
Эскиз графика отмечен синим цветом на рисунке.
функция 
(отмечен зелёным). Этот график симметричен относительно оси ординат, а значит, и искомый график функции у симметричен относительно оси ординат. Заметим, что функция y убывает на промежутке 
а возрастает на промежутке 
Найдем дополнительные значения: 
и 
Эскиз графика отмечен на рисунке красным цветом.
Функция определена при 
Асимптотами искомого графика буду прямые 
и 
Основание логарифма больше 1, поэтому промежутки возрастания функции 
совпадают на области определения с промежутками возрастания и убывания функции 
Искомый график представляет собой две симметричные относительно оси ординат кривые. Найдем дополнительное значение: 
Эскиз графика отмечен на рисунке.
постройте нелинейными преобразованиями график 
функция 
принимает вид 
Выразим полный квадрат из выражения функции, получим:
график пересекает ось абсцисс в точке 
и проходит через начало координат. Эскиз графика изображен на рисунке.
Построим параболу — график функции y (отмечен зеленым). Парабола симметрична относительно прямой 
а значит, искомый график тоже симметричен относительно этой прямой. Также очевидно, что искомый график полностью лежит над осью абсцисс, лишь касаясь её в тех же точках, что и парабола. Ордината вершины параболы возведётся в квадрат. Промежутками убывания искомого графика будут 
а возрастания — промежутки 
и 
соответственно. Найдем дополнительные значения: 
и 
Эскиз графика отмечен на рисунке черным цветом.
отбросим ее часть, лежащую ниже оси абсцисс, «извлечем корень». При этом части графика с ординатами из интервала а 
поднимутся, части графика, ординаты которых больше 1, опустятся. Исследуем поведение на бесконечностях:
и 
к которым график приближается сверху (Десмос рисует этот график, не отражая его важные особенности).
Построим параболу — график функции f (отмечен зелёным). Этот график симметричен относительно прямой 
а значит, и искомый график функции у симметричен относительно этой прямой. Заметим, что функция y убывает на промежутке 
а возрастает на промежутке 
Функция y принимает наименьшее значение в точке x = 1. При стремлении х к ±∞, значения у стремятся к +∞, оставаясь положительными. Поэтому горизонтальных асимптот искомый график не имеет.
и 
Эскиз графика отмечен на рисунке синим цветом.
постройте нелинейными преобразованиями график 
функция 
Выразим полный квадрат из выражения функции, получим:
график пересекает ось абсцисс в точке 
и проходит через начало координат. Эскиз графика изображен на рисунке.
Построим параболу — график функции y (отмечен зеленым). Заметим, что этот график симметричен относительно прямой 
а значит, искомый нами график симметричен относительно этой же прямой. Также очевидно, что график искомой нами функции полностью лежит над осью абсцисс, лишь касаясь её в тех же точках, в которых это делает парабола — точках 
и 
Из этого и того факта, что функция искомого графика квадратична, следует то, что все ординаты, в том числе и вершины параболы, возведутся в квадрат. Тогда промежутками убывания искомого графика будут 
и 
а возрастания — промежутки 
и 
соответственно. Найдем дополнительные значения: 
и 
Эскиз графика отмечен на рисунке черным цветом.
Построим параболу — график функции f (отмечен зелёным). Этот график симметричен относительно прямой 
а возрастает на промежутке 
Функция y принимает наименьшее значение в точке x = -1. При стремлении х к ±∞, значения у стремятся к +∞, оставаясь положительными. Поэтому горизонтальных асимптот искомый график не имеет.
и 
Эскиз графика отмечен на рисунке синим цветом.
Заметим, что аргумент логарифма можно представить как: 
Значит, ординатами искомого графика буду прямые 
и сама ось ординат. Искомый график представляет собой две симметричные монотонные логарифмические кривые, получающиеся из логарифмической кривой 
Найдем дополнительные значения: 
и 
Эскиз графика отмечен на рисунке.