Ре­ше­ние. Пусть Най­дем мно­го­член, кор­нем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся где За­ме­тим, что

по­лу­ча­ем:

Учи­ты­вая, что на­хо­дим:

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Из­вест­но, что при любом на­ту­раль­ном n сумма вида вы­ра­жа­ет­ся через

Ре­ше­ние. По­ло­жим уеди­ним ку­би­че­ский ко­рень и воз­ве­дем в куб, затем сгруп­пи­ру­ем сла­га­е­мый так, чтобы вы­де­лить квад­рат­ный ко­рень, и воз­ве­дем в квад­рат. Этим из­ба­вим­ся от ир­ра­ци­о­наль­ных чисел и по­лу­чим мно­го­член с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми:

Ответ:

Ре­ше­ние. Под­ста­вим вме­сто x еди­ни­цу:

зна­че­ние мно­го­чле­на в точке 1 даёт сумму его ко­эф­фи­ци­ен­тов. Сумма ко­эф­фи­ци­ен­тов мно­го­чле­на равна его зна­че­нию в точке 1.

Ответ: 0.

Ре­ше­ние. Число a, b и с  — ре­ше­ние урав­не­ния. Вы­ра­же­ния в левой части имеют сте­пень не выше вто­рой, по­сколь­ку ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ют три числа, оно яв­ля­ет­ся тож­де­ством для всех и при­во­дит­ся к виду Таким об­ра­зом, x  — любое число.

Ответ: x  — любое число.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку

то оста­ток де­ле­ния будет равен 11.

Ответ: 11.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Безу оста­ток от де­ле­ния мно­го­чле­на на дву­член равен зна­че­нию мно­го­чле­на в точке 2, то есть равен

Ре­ше­ние. Раз­де­лим, тогда

где p(x)  — мно­го­член 98-ой сте­пе­ни, оста­ток  — ли­ней­ный дву­член.

Под­ста­вим вме­сто x 1 и −1, тогда

Ис­ко­мый оста­ток:

Ответ:

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим дан­ный мно­го­член p(x), тогда:

По тео­ре­ме Безу при­чем

Решим си­сте­му:

Таким об­ра­зом, ис­ко­мый оста­ток равен

Ответ:

Ре­ше­ние. Раз­ность мно­го­чле­нов, име­ю­щих общий ко­рень, имеет тот же ко­рень. Тогда, взяв раз­ность, по­лу­чим

Об­щи­ми кор­ня­ми мно­го­чле­нов могут быть числа толь­ко 1 и −1. Про­вер­ка по­ка­зы­ва­ет, что оба числа ими и яв­ля­ют­ся (но это могло бы и не вы­пол­нять­ся).

Ответ: 1 и −1.

Ре­ше­ние. Раз­ло­жим мно­го­член четвёртой сте­пе­ни на два квад­рат­ных трёхчле­на:

Тогда

от­ку­да или Най­ден­ные удо­вле­тво­ря­ют вто­ро­му урав­не­нию, а зна­чит и всей си­сте­ме. Тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что сумма под­ко­рен­ных вы­ра­же­ний равна 4, а их про­из­ве­де­ние равно 1. Обо­зна­чим и най­дем мно­го­член, кор­нем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся где За­ме­тим, что

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем: то есть

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Из­вест­но, что при любом на­ту­раль­ном n сумма вида вы­ра­жа­ет­ся через

Ре­ше­ние. По­ло­жим уеди­ним ку­би­че­ский ко­рень и воз­ве­дем в куб. Этим из­ба­вим­ся от ир­ра­ци­о­наль­ных чисел и по­лу­чим мно­го­член с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми:

Ответ:

Ре­ше­ние. По­ло­жим уеди­ним ку­би­че­ский ко­рень и воз­ве­дем в куб. Этим из­ба­вим­ся от ир­ра­ци­о­наль­ных чисел и по­лу­чим мно­го­член с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми:

Ответ:

Ре­ше­ние. Из­вест­но, что

По тео­ре­ме Виета:

Под­став­ляя, на­хо­дим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Сумма ко­эф­фи­ци­ен­тов при чет­ных сте­пе­нях мно­го­чле­на равна

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. По тео­ре­ме Виета:

Пусть тогда:

Тем самым ис­ко­мое урав­не­ние имеет вид

Ре­ше­ние. Сумма ко­эф­фи­ци­ен­тов при чет­ных сте­пе­нях мно­го­чле­на равна

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. По­ло­жим уеди­ним ра­ди­кал и воз­ве­дем в чет­вер­тую сте­пень. Этим из­ба­вим­ся от ир­ра­ци­о­наль­ных чисел и по­лу­чим мно­го­член с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми:

Ответ: