Ре­ше­ние. За­пи­шем урав­не­ние в виде

По­ло­жим тогда:

##

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть тогда имеем:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

По­оче­ред­но най­дем каж­дое зна­че­ние:

Итак, най­дем эти зна­че­ния:

Учтем ОДЗ ис­ход­но­го урав­не­ния:

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что нам под­хо­дят толь­ко корни

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. По смыс­лу за­да­чи По­ло­жим где Пре­об­ра­зу­ем левую часть урав­не­ния:

Таким об­ра­зом,

Пре­об­ра­зу­ем по­лу­чен­ное урав­не­ние:

Из по­лу­чен­ных ре­ше­ний пер­вой чет­вер­ти при­над­ле­жит лишь число Оно удо­вле­тво­ря­ет усло­вию Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что от­ку­да Вы­бе­рем t так, чтобы при­чем Такое t су­ще­ству­ет и един­ствен­но. Тогда

по­сколь­ку и

Урав­не­ние при­мет вид от­ку­да, во-пер­вых, сразу то есть, учи­ты­вая что или При этом усло­вии можно воз­ве­сти урав­не­ние в квад­рат:

Пусть тогда:

Имеем:

Учи­ты­вая усло­вие из каж­до­го на­бо­ра будет вы­бра­но ровно одно число. Это будут и По­след­нее число не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть тогда имеем:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Во вто­ром урав­не­нии си­сте­мы пе­ре­не­сем из левой части в пра­вую, сло­жим с по­лу­чим со­глас­но пер­во­му урав­не­нию си­сте­мы. Вто­рое урав­не­ние си­сте­мы при­ни­ма­ет вид

Сле­до­ва­тель­но, ис­ход­ная си­сте­ма рав­но­силь­на си­сте­ме

Пусть тогда имеем:

Вер­нем­ся к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим по­лу­чим:

При де­ле­нии на по­те­ри кор­ней не про­изо­шло, так как од­но­вре­мен­но ра­вен­ства и не вы­пол­ня­ют­ся.

По­ло­жим где по­лу­чим:

Ин­тер­ва­лу при­над­ле­жат ре­ше­ния и

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, по­сколь­ку его пра­вая часть боль­ше еди­ни­цы.

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть По­лу­чим:

Обо­зна­чим те­перь по­лу­чим

По­ло­жим тогда урав­не­ние при­мет вид:

Сле­до­ва­тель­но, (см. рис.), ку­би­че­ское урав­не­ние имеет три корня:

По­сколь­ку ку­би­че­ское урав­не­ние имеет не боль­ше трех кор­ней, все ре­ше­ния най­де­ны. Из них пер­вой чет­вер­ти при­над­ле­жит лишь Тогда урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние

а по­то­му ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Ясно, что Вы­бе­рем так, чтобы Тогда

по­сколь­ку Урав­не­ние при­ни­ма­ет вид:

Обо­зна­чим те­перь по­лу­чим:

Обо­зна­чим тогда

Урав­не­ние при­мет вид:

Имеем:

По­сколь­ку вто­рой ко­рень не под­хо­дит. По­лу­ча­ем:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Най­дем огра­ни­че­ния на x:

Таким об­ра­зом, пе­ре­мен­ная, на­хо­дя­ща­я­ся под зна­ком ра­ди­ка­ла, про­бе­га­ет все зна­че­ния из от­рез­ка Это поз­во­ля­ет сде­лать за­ме­ну пе­ре­мен­ной где На этом мно­же­стве зна­че­ний пе­ре­мен­ной t спра­вед­ли­во тож­де­ство

от­ку­да по­лу­ча­ем:

Будем рас­смат­ри­вать левую часть как функ­цию решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов на от­рез­ке Для этого най­дем нули функ­ции на этом от­рез­ке:

Най­ден­ные нули функ­ции делят от­ре­зок на про­ме­жут­ки зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции Возь­мем проб­ную точку:

На осталь­ных ин­тер­ва­лах знаки опре­де­лим ис­поль­зуя прин­цип их по­оче­ред­но­го че­ре­до­ва­ния (см. рис.).

Таким об­ра­зом, на и на

По­сколь­ку и за­клю­ча­ем, что или

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим за­да­чу, ме­то­дом три­го­но­мет­ри­че­ской за­ме­ны. Под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния, по­это­му для всех зна­че­ний пе­ре­мен­ной

Пусть где тогда лю­бо­му зна­че­нию x со­от­вет­ству­ет ровно одно зна­че­ние t из ин­тер­ва­ла По­лу­ча­ем, что:

Най­дем мно­же­ство зна­че­ний по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния. Каж­до­му зна­че­нию t из ин­тер­ва­ла со­от­вет­ству­ет ровно одно зна­че­ние из ин­тер­ва­ла (−1; 1). Тогда:

Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет ре­ше­ния при

Ответ: (−10; 10).

При­ме­ча­ние.

Пер­вым шагом мы по­лу­чи­ли в зна­ме­на­те­лях вы­ра­же­ния и по­ло­жи­ли Можно было по­сту­пить иначе: чтобы пре­об­ра­зо­вать сумму по­ло­жим тогда

далее ана­ло­гич­но.

Решим за­да­чу гра­фи­че­ски.

Под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния, по­это­му для всех зна­че­ний пе­ре­мен­ной

Будем рас­смат­ри­вать пра­вую часть как функ­цию a(x). За­да­ча сво­дит­ся к вы­яс­не­нию мно­же­ства зна­че­ний этой функ­ции. Она опре­де­ле­на, не­пре­рыв­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма при всех зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та. Най­дем про­из­вод­ную:

В силу спра­вед­ли­во­сти не­ра­венств

за­клю­ча­ем, что най­ден­ная про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при всех зна­че­ни­ях х. Сле­до­ва­тель­но, функ­ция a(x) воз­рас­та­ет на всей чис­ло­вой пря­мой. Оста­лось вы­яс­нить пре­де­лы на бес­ко­неч­но­сти. Имеем:

Таким об­ра­зом, а по­то­му при каж­дом зна­че­нии па­ра­мет­ра, таком, что ис­ход­ное урав­не­ние имеет ре­ше­ние, при­чем един­ствен­ное. Эскиз гра­фи­ка функ­ции при­ве­ден на ри­сун­ке.

Ответ: (−10; 10).

Ре­ше­ние. Ясно, что все пе­ре­мен­ные от­лич­ны от −1 и 1, по­это­му си­сте­му можно за­пи­сать в виде

По­ло­жим где По фор­му­ле тан­ген­са двой­но­го угла из пер­во­го, вто­ро­го и тре­тье­го урав­не­ния си­сте­мы по­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Итак, от­ку­да Об­ла­сти опре­де­ле­ния α при­над­ле­жит лишь число Тогда

Ответ: