Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 21 № 8520
i

Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний  си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 x плюс x в квад­ра­те y=y, 2 y плюс y в квад­ра­те z=z, 2 z плюс z в квад­ра­те x=x. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ясно, что все пе­ре­мен­ные от­лич­ны от −1 и 1, по­это­му си­сте­му можно за­пи­сать в виде

 си­сте­ма вы­ра­же­ний y= дробь: чис­ли­тель: 2 x, зна­ме­на­тель: 1 минус x в квад­ра­те конец дроби , z= дробь: чис­ли­тель: 2 y, зна­ме­на­тель: 1 минус y в квад­ра­те конец дроби , x= дробь: чис­ли­тель: 2 z, зна­ме­на­тель: 1 минус z в квад­ра­те конец дроби . конец си­сте­мы .

По­ло­жим x= тан­генс альфа , где  альфа при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \backslash левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка . По фор­му­ле тан­ген­са двой­но­го угла  тан­генс 2 альфа = дробь: чис­ли­тель: 2 тан­генс альфа , зна­ме­на­тель: 1 минус тан­генс в квад­ра­те альфа конец дроби \quad из пер­во­го, вто­ро­го и тре­тье­го урав­не­ния си­сте­мы по­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

x= тан­генс альфа ,

y= тан­генс 2 альфа ,

z= тан­генс 4 альфа ,

x= тан­генс 8 альфа .

Итак,  тан­генс 8 альфа = тан­генс альфа , от­ку­да  альфа = дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ,  n при­над­ле­жит Z . Об­ла­сти опре­де­ле­ния α при­над­ле­жит лишь число  тан­генс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби . Тогда

x = тан­генс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ,

y = тан­генс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи n, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ,

z = тан­генс дробь: чис­ли­тель: 4 Пи n, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка тан­генс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; тан­генс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи n, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; тан­генс дробь: чис­ли­тель: 4 Пи n, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби : n при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .