Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 21 № 3516
i

Ре­ши­те за­да­ние вве­де­ни­ем три­го­но­мет­ри­че­ской за­ме­ны |2x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус 4x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те |= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 8x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что 1 минус 4x в квад­ра­те боль­ше или равно 0, от­ку­да  левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно 1,  минус 1 мень­ше или равно 2x мень­ше или равно 1. Вы­бе­рем t так, чтобы 2x= ко­си­нус t, при­чем 0 мень­ше или равно t мень­ше или равно Пи . Такое t су­ще­ству­ет и един­ствен­но. Тогда

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус 4x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те t конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус в квад­ра­те t конец ар­гу­мен­та =\abs синус t= синус t ,

по­сколь­ку  синус x боль­ше или равно 0 и

8x в квад­ра­те минус 1=2 левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1=2 ко­си­нус в квад­ра­те t минус 1= ко­си­нус 2t.

Урав­не­ние при­мет вид | синус t минус ко­си­нус t|= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 2t, от­ку­да, во-пер­вых, сразу  ко­си­нус 2t боль­ше или равно 0, то есть, учи­ты­вая что 0 мень­ше или равно t мень­ше или равно Пи , 0 мень­ше или равно t мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби или  дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно t мень­ше или равно Пи . При этом усло­вии можно воз­ве­сти урав­не­ние в квад­рат:

 синус в квад­ра­те t минус 2 синус t ко­си­нус t плюс ко­си­нус в квад­ра­те t=2 ко­си­нус в квад­ра­те 2t рав­но­силь­но 1 минус синус 2t=2 левая круг­лая скоб­ка 1 минус синус в квад­ра­те 2t пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пусть  синус 2t=y, тогда:

1 минус y=2 левая круг­лая скоб­ка 1 минус y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 2y в квад­ра­те минус y минус 1=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний y=1,y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Имеем:

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус 2t=1, синус 2t= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2t= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,2t= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, 2t= минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k,t= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс Пи k, t= минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти .k при­над­ле­жит Z .

Учи­ты­вая усло­вие 0 мень­ше или равно t мень­ше или равно Пи , из каж­до­го на­бо­ра будет вы­бра­но ровно одно число. Это будут t= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , t= дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби и t= дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби . По­след­нее число не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию  ко­си­нус 2t боль­ше или равно 0.

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус t рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,x= минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6, зна­ме­на­тель: плюс конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та 8; дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 4 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .


Аналоги к заданию № 3516: 3517 Все