Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 21 № 3512
i

Ре­ши­те за­да­ние вве­де­ни­ем три­го­но­мет­ри­че­ской за­ме­ны ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те =4x в кубе минус 3x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть x= ко­си­нус t, тогда имеем:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те t конец ар­гу­мен­та =4 ко­си­нус в кубе t минус 3 ко­си­нус t рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус в квад­ра­те t конец ар­гу­мен­та = ко­си­нус 3t рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка синус t= ко­си­нус 3t, новая стро­ка минус синус t= ко­си­нус 3t конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус t пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус 3t, новая стро­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс t пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус 3t конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус t=3t плюс 2 Пи k, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус t= минус 3t плюс 2 Пи k, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс t=3t плюс 2 Пи k, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс t= минус 3t плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка t= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка t= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, новая стро­ка t= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус Пи k, новая стро­ка t= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

 

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x= ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , новая стро­ка x= ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка , новая стро­ка x= ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка , новая стро­ка x= ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . конец со­во­куп­но­сти .

 

По­оче­ред­но най­дем каж­дое зна­че­ние:

ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби синус дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка \pm синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , новая стро­ка \pm ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,k при­над­ле­жит Z . конец со­во­куп­но­сти .

 

ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­си­нус Пи k минус синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби синус Пи k=\pm ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,k при­над­ле­жит Z .

 

ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­си­нус Пи k плюс синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби синус Пи k=\pm ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,k при­над­ле­жит Z .

 

ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби синус дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка \pm синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , новая стро­ка \pm ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,k при­над­ле­жит Z . конец со­во­куп­но­сти .

 

Итак, най­дем эти зна­че­ния:

синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

минус синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

минус ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

минус ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Учтем ОДЗ ис­ход­но­го урав­не­ния:

4x в кубе минус 3x\geqslant0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно x \leqslant0, новая стро­ка x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

 

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что нам под­хо­дят толь­ко корни минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби конец ар­гу­мен­та 2; минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби конец ар­гу­мен­та 2 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

Ответ: минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби конец ар­гу­мен­та 2; минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби конец ар­гу­мен­та 2 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .


Аналоги к заданию № 3512: 3513 Все

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025