РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 21 № 3512 Добавить в вариант

Разные задачи. 3. Решите задание введением тригонометрической замены

Решите задание введением тригонометрической замены $корень из: начало аргумента: 1 минус x конец аргумента в квадрате =4x в кубе минус 3x.$

Решение. Пусть $x= косинус t,$ тогда имеем:

$корень из: начало аргумента: 1 минус косинус в квадрате t конец аргумента =4 косинус в кубе t минус 3 косинус t равносильно корень из: начало аргумента: синус в квадрате t конец аргумента = косинус 3t равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка синус t= косинус 3t, новая строка минус синус t= косинус 3t конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус t правая круглая скобка = косинус 3t, новая строка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс t правая круглая скобка = косинус 3t конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус t=3t плюс 2 Пи k, новая строка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус t= минус 3t плюс 2 Пи k, новая строка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс t=3t плюс 2 Пи k, новая строка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс t= минус 3t плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка t= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка t= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, новая строка t= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус Пи k, новая строка t= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной:

$совокупность выражений новая строка x= косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , новая строка x= косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k правая круглая скобка , новая строка x= косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус Пи k правая круглая скобка , новая строка x= косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка . конец совокупности .$

Поочередно найдем каждое значение:

$косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби косинус дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби плюс синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби синус дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби = совокупность выражений новая строка \pm синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби , новая строка \pm косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,k принадлежит Z . конец совокупности .$

$косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k правая круглая скобка = косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби косинус Пи k минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби синус Пи k=\pm косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,k принадлежит Z .$

$косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус Пи k правая круглая скобка = косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби косинус Пи k плюс синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби синус Пи k=\pm косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,k принадлежит Z .$

$косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби косинус дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби синус дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби = совокупность выражений новая строка \pm синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби , новая строка \pm косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,k принадлежит Z . конец совокупности .$

Итак, найдем эти значения:

$синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1 минус косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1 минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

$минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби = минус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1 минус косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента = минус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1 минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

$косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1 плюс косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1 плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

$минус косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби = минус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1 плюс косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента = минус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1 плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

$косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

$минус косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Учтем ОДЗ исходного уравнения:

$4x в кубе минус 3x\geqslant0 равносильно совокупность выражений новая строка минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x \leqslant0, новая строка x больше или равно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Таким образом, получаем, что нам подходят только корни $минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2, знаменатель: конец аргумента конец дроби конец аргумента 2; минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 минус корень из: начало аргумента: 2, знаменатель: конец аргумента конец дроби конец аргумента 2 правая фигурная скобка .$

Ответ: $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ; дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2, знаменатель: конец аргумента конец дроби конец аргумента 2; минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 минус корень из: начало аргумента: 2, знаменатель: конец аргумента конец дроби конец аргумента 2 правая фигурная скобка .$

3512

$минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ; дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2, знаменатель: конец аргумента конец дроби конец аргумента 2; минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 минус корень из: начало аргумента: 2, знаменатель: конец аргумента конец дроби конец аргумента 2 правая фигурная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3512	$минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ; дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2, знаменатель: конец аргумента конец дроби конец аргумента 2; минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 минус корень из: начало аргумента: 2, знаменатель: конец аргумента конец дроби конец аргумента 2 правая фигурная скобка .$