PDF-версии: 
Решите задачу с параметром. Определите количество решений системы 
в зависимости от а.
Решение. Первое уравнение системы:
задаёт квадрат с вершинами 
и со стороной 
Второе уравнение системы при 
задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом 
Каждой общей точки окружности и квадрата соответствует решение системы.
Если 
или 
— точек пересечения окружности с квадратом нет. Если 
— окружность вписана в квадрат, 4 точки пересечения. Если 
— 8 точек пересечения. Если 
— окружность описана вокруг квадрата, 4 точки пересечения. Если 
— точек пересечения нет.
Ответ: при 
и при 
— решений нет, при 
— 4 решения, при 
— 8 решений, при 
— 4 решения.
и при — решений нет, при — 4 решения, при — 8 решений, при — 4 решения. и при — решений нет, при — 4 решения, при — 8 решений, при — 4 решения.
в зависимости от а.
и 
при 
4 решения, при 
8 решений.
в зависимости от а.
Заметим, что 
Второе уравнение задаёт две прямые:
.
будет 2 решения. Если 
, окружность не коснется прямых, следовательно, решений не будет. Если 
окружность пересечёт прямые в 4-х точках.
нет решений, при 
2 решения, при 
4 решения.
в зависимости от а.
и 
решений нет, при 
4 решения, при 
8 решений, при 
6 решений, при 
4 решения, при 
2 решения.
имеет единственное решение? Найдите это решение.
пересекает график функции 
в единственной точке (см. рис. 1 и рис. 2). Искомые значения параметра: 
имеет единственное решение? Найдите это решение.
в зависимости от а.
при 
— два решения, при 
решений нет.
в зависимости от а.
решений нет, при 
1 решение, при 
2 решения.
в зависимости от а.
— часть параболы, имеющей с касательной единственную общую точку, а потому дискриминант полученного уравнения должен быть равен 0:
1 решение, при 
2 решения, при 
нет решений.
в зависимости от а.
нет решений, при 
1 решение, при 
2 решения.
имеет ровно три решения?.
а график левой части — прямая 
сдвинутая на a единичных отрезков. Построим графики функций обеих частей (см. рис.). По рисунку видно, что 3 точки пересечения, а значит, и 3 решения будет при 
и 
имеет ровно три решения?.
имеет более трех корней?.
и 
получаются из графика функции 
сдвигом и отражением относительно оси Ox (см. рис. 1). При увеличении параметра a график правой части будет сдвигаться вверх вдоль оси Oy. По рисунку 2 видно, что более трёх корней график будет иметь при 
имеет не более трех корней?.
и 
в зависимости от а.
а затем график функции 
если 
если 
если 
если 
больше 
а другой меньше 
?
необходимо и достаточно выполнения неравенства 
откуда получаем:
больше числа a, а другой меньше числа a?
Следовательно, требованию задачи удовлетворяют решения неравенства
имеет два решения?
где 
имеет:
и при 
имеет четыре решения.
при 
и радиусом 
то есть при 
и при 