Ре­ше­ние. Упро­стим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Упро­стим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Под­ста­вим пер­вое урав­не­ние во вто­рое, далее сло­жим и вы­чтем урав­не­ния си­сте­мы:

Ответ:

Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем обе части пер­во­го и вто­ро­го урав­не­ний в квад­рат и сло­жим по­лу­чен­ные урав­не­ния. По­лу­чим след­ствие си­сте­мы:

По­ка­жем, что по­лу­чен­ная со­во­куп­ность дей­стви­тель­но имеет един­ствен­ное ре­ше­ние. Рас­смот­рим урав­не­ние Во всех точ­ках от­рез­ка [−1; 1], от­лич­ных от 0, верно не­ра­вен­ство (до­ка­за­тель­ство в при­ме­ча­нии), по­это­му урав­не­ние не имеет ре­ше­ний. Вне этого от­рез­ка мо­дуль пра­вой части урав­не­ния боль­ше 1, а левой не мень­ше 1. По­это­му дру­гих ре­ше­ний нет.

Рас­смот­рим урав­не­ние На про­ме­жут­ке [−1; 1] левая часть этого урав­не­ния воз­рас­та­ет, а пра­вая  — убы­ва­ет, по­это­му число 0 яв­ля­ет­ся един­ствен­ным кор­нем на дан­ном от­рез­ке. При про­чих зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной мо­дуль пра­вой части боль­ше 1, а мо­дуль левой не боль­ше 1. По­это­му дру­гих ре­ше­ний нет.

Под­ста­вим те­перь най­ден­ное ре­ше­ние в ис­ход­ную си­сте­му. Имеем:

Ответ:

При­ме­ча­ние.

По­ка­жем, что на ин­тер­ва­ле спра­вед­ли­во двой­ное не­ра­вен­ство Рас­смот­рим сек­тор OAB окруж­но­сти еди­нич­но­го ра­ди­у­са, с цен­траль­ным углом х. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Ясно, что По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Для от­ри­ца­тель­ных зна­че­ний пе­ре­мен­ной на ин­тер­ва­ле спра­вед­ли­во не­ра­вен­ство про­ти­во­по­лож­но­го смыс­ла: Сле­до­ва­тель­но, на ин­тер­ва­ле спра­вед­ли­во со­от­но­ше­ние

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Воз­ведём обе части обоих урав­не­ний в квад­рат сло­жим по­лу­чен­ные урав­не­ния, упро­стим:

Дру­гих ре­ше­ний нет, так как при про­чих х спра­вед­ли­ва оцен­ка

Вер­нем­ся к си­сте­ме:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Сло­жим и вы­чтем урав­не­ния си­сте­мы:

Ответ:

Ре­ше­ние. За­пи­шем си­сте­му в виде:

Воз­ве­дем оба урав­не­ния в квад­рат и сло­жим по­лу­чен­ные урав­не­ния, по­лу­чим след­ствие си­сте­мы:

Под­ста­вим най­ден­ные зна­че­ния х в урав­не­ния ис­ход­ной си­сте­мы:

Ответ:

Ре­ше­ние. За­пи­шем си­сте­му в виде

и за­ме­тим, что она не ме­ня­ет­ся при за­ме­не x на y, а y на х. Тогда если трой­ка чисел яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы, то и трой­ка чисел яв­ля­ет­ся ее ре­ше­ни­ем. Чтобы си­сте­ма имела един­ствен­ное ре­ше­ние, долж­но быть вы­пол­не­но ра­вен­ство По­ло­жим, по­лу­чим:

По­лу­чен­ная си­сте­ма не ме­ня­ет­ся при за­ме­не z на −z, а по­то­му если трой­ка чисел яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы, то и трой­ка чисел яв­ля­ет­ся ее ре­ше­ни­ем. Чтобы си­сте­ма имела един­ствен­ное ре­ше­ние, долж­но быть вы­пол­не­но ра­вен­ство По­ло­жим, по­лу­чим:

Из пер­во­го урав­не­ния на­хо­дим: то есть Ло­га­рифм в тре­тьем урав­не­нии опре­де­лен толь­ко для по­ло­жи­тель­ных зна­че­ний ар­гу­мен­та, по­это­му а зна­чит, от­ку­да Тогда и вто­рое урав­не­ние при­ни­ма­ет вид Под­став­ляя най­ден­ные ве­ли­чи­ны в тре­тье урав­не­ние, по­лу­ча­ем вер­ное ра­вен­ство Таким об­ра­зом, един­ствен­ным воз­мож­ным зна­че­ни­ем па­ра­мет­ра яв­ля­ет­ся

Про­ве­рим, что при си­сте­ма дей­стви­тель­но имеет един­ствен­ное ре­ше­ние. Имеем:

Под­став­ляя в ис­ход­ную си­сте­му при на­хо­дим:

Ответ: 1.