PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых любое решение уравнения 
лежит на 
Решение. Короткое решение этой задачи приведено в задании 503256.
Приведем непосредственное вычисление.
Преобразуем заданное уравнение:
откуда получаем:
Поскольку 
должна быть справедлива оценка
Разобьем это неравенство на две системы неравенств:
Заметим, что 
для каждого 
так как 
Рассмотрим систему (1), решим первое её неравенство:
Решим второе неравенство:
Решением системы неравенств (1) является множество 
Рассмотрим систему (2), решим первое неравенство:
Решим второе неравенство этой системы:
Итак, решением системы (2) является множество 
Ответ: 
Решим задачу с помощью исследования расположения корней квадратного трехчлена.
Имеем: 
Введем новую переменную: пусть 
Тогда 
Как было показано выше, дискриминант квадратного трехчлена относительно t при всех 
положителен. Ветви параболы, т. е., графика функции 
направлены вверх.
Найдем значения a, при которых 
Их удобно искать, решив 3 системы неравенств. Положим 
число 
— абсцисса вершины параболы.
Случай 1: 
откуда получаем:
Полученная система несовместна.
Случай 2: 
Тогда:
Система несовместна.
Случай 3: 
Находим:
Таким образом, 
только при 
Поскольку при остальных значениях квадратный трехчлен относительно t будет иметь хотя бы один действительный корень, удовлетворяющий условию 
то искомым множеством значений а будет множество 
Ответ:
лежит на 
Она определена при 
возрастает на области определения и принимает все значения от 
до 
Значит, уравнение 
имеет единственное решение. Это решение принадлежит отрезку 
тогда и только тогда, когда 
и 
Получаем систему неравенств:
имеет единственное решение.
является решением уравнения, то и число 
также является решением этого уравнения. Значит, если уравнение имеет единственное решение, то это решение 
уравнение принимает вид
и 
исходное уравнение принимает вид 
При 
правая часть уравнения 
При 
правая часть уравнения равна 4, а левая часть уравнения не меньше 4, причём равенство достигается только при 
правая часть уравнения 
Значит, исходное уравнение имеет единственное решение 
исходное уравнение принимает вид 
Числа −2, 0 и 2 являются корнями этого уравнения.
имеет единственный корень.
левая часть уравнения не меньше 4, причём равенство достигается только при x = 0. При x > 2 правая часть уравнения 
имеет хотя бы один корень.
имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1]. Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вверх, 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1], либо при условии 
(рис. 1) 
откуда 
либо при условии 
(рис. 2) 
откуда 
не имеет решений.
не имеет корней.
Её производная 
значит, функция 
является возрастающей и каждое свое значение принимает ровно один раз. Тогда исходное уравнение равносильно квадратному уравнению 
или 
которое не имеет корней при 
то есть при 
не имеет корней.
значит, функция 
имеет хотя бы одно решение.
тогда исходное уравнение записывается в виде 
Функция f возрастает, поскольку является суммой двух возрастающих функций. Монотонная функция принимает все свои значения единожды, поэтому получаем:
принимает значения от 
до 
а функция 
монотонно возрастает на отрезке 
и принимает на нём значения от 
до 
Значит, уравнение 
а с ним и исходное уравнение имеют решение при 
не имеет решений.
тогда исходное уравнение имеет вид 
Функция f является суммой двух возрастающих функций и потому возрастает. В силу монотонности f равенству значений функции соответствует равенство аргументов, откуда получаем:
принимает значения от 
монотонно возрастает на отрезке 
а с ним и исходное уравнение имеют решение при 
и не имеют решений при 
имеет хотя бы один корень на промежутке 
равносильно системе 
если уравнение 
либо промежутку 
является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке 
уравнение 
(рис. 1).
при условии
(рис. 2).
и при 
имеет хотя бы один корень на промежутке 
имеет единственный корень.
Рассмотрим две функции: 
и 
Графиком функции 
лежащая в верхней полуплоскости. При каждом значении a графиком функции 
является прямая с угловым коэффициентом 
проходящая через точку 
и 
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
проходит через точки 
и 
следовательно, её угловой коэффициент 
При 
прямая, заданная уравнением 
имеет угловой коэффициент не больше, чем у прямой MA, и пересекает полуокружность в двух точках. При 
прямая, заданная уравнением 
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
имеет единственный корень.
Рассмотрим две функции:
и 
Графиком функции 
является полуокружность радиуса 3 с центром в точке 
лежащая в верхней полуплоскости (см. рис.). При каждом значении a графиком функции 
проходящая через точку 
и 
имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
проходит через точки 
и 
следовательно, её угловой коэффициент 
прямая, заданная уравнением 
имеет две общие точки с полуокружностью. Прямая MB, заданная уравнением 
следовательно, её угловой коэффициент 
При 
прямая, заданная уравнением 
имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой MA и не больше, чем у прямой MB, и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при 
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
выполняется для всех 
и убывает на промежутке 
Исходное неравенство имеет вид 
значит, график функции 
на отрезке 
должен находиться в пределах горизонтальной полосы: 
иначе приращение 
будет не меньше 
поэтому ее график не поместится в полосе ширины 
следовательно, 
откуда 
достигается либо при 
либо при 
Наименьшее значение функции 
Получаем систему:
выполняется для всех 
Эта функция возрастает на промежутке 
должен находиться в пределах горизонтальной полосы: 
Следовательно, 
откуда 
либо при 
на промежутке 
имеет ровно два корня.
уравнение не имеет неотрицательных корней, поскольку его левая часть неположительна, а правая положительна. Определим, для 
графики функции 
и 
имеют ровно две общие точки на области x > 0. 
Абсцисса точки касания при таком значении а действительно положительна: 
(а значит, рисунок верен, и найденное значение параметра подходит). 
проходит через точку (0; 5). Поскольку 
находим: 
Следовательно, при 
на промежутке [0; 4) график модуля пересекает гиперболу в двух точках, а при 
лишь в одной точке.
и при 
уравнение имеет ровно два неотрицательных решения.
и 
Исследуем 
на промежутке 
Функция 
поскольку 
и 
уравнение 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поскольку случай 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
при 
уравнение имеет два корня.
Тогда оба корня меньше 
поскольку при 
значения функции 
неположительны, а значения функции 
положительны. По теореме Виета сумма корней равна 
а произведение равно 
Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку 
а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда 
:
на промежутке 
имеет ровно два корня.
и 
Исследуем 
Функция 
а 
уравнение 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней; при 
уравнение имеет единственный корень, равный 2; при 
уравнение имеет два корня.
Тогда оба корня меньше 5, поскольку при 
значения функции 
неположительны, а значения функции 
положительны. По теореме Виета сумма корней равна 4, а произведение равно 
Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку 
а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда 
и 
на промежутке 
растягиваемый в a раз. 
решений нет. Ровно два решения возможно, когда 
дискриминант должен быть равен нулю. 
По условию 
не подходит. Таким образом, до 
и 
уравнение имеет либо 0, либо 3 решения.
Тогда при 
будет всего два решения, поскольку будет всего два пересечения.
на промежутке 
имеет более двух корней.
имеют более двух точек пересечения на области x > 0. 
Если их угловой коэффициент меньше чем у прямой р или больше чем у прямой m (см. рис.), то на промежутке 
графики будут иметь ровно одну общую точку. Если прямая совпадает с прямой р или с прямой m, то графики будут иметь ровно две общие точки. Графики имеют три общие точки, а исходное уравнение имеет три положительных решения, если прямые y = ax − 1 лежат внутри острого угла, образованного прямыми p и m. 
в точках 
и 
а прямая m касается графика в точке 
Заметим, что точка С действительно лежит левее точки В в силу того, что график выпукл вверх и что ордината точки С положительна, иначе оказалось бы, что наш рисунок неверен и потребовалось рассмотреть соответствующую конфигурацию.
и 
Исследуем уравнение 
на промежутке 
отрицательны, а все значения функции 
поэтому уравнение 
откуда получаем 
то есть 
уравнение 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поэтому при 
уравнение имеет единственный корень, равный 2, при 
уравнение имеет два корня.
и 
то есть 
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень 
то есть 
имеет следующее количество корней на промежутке 
на промежутке 
имеет больше двух корней.
и 
Количество решений исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков данных функций. Определим, при каких a графики будут иметь более двух общих точек на открытом луче 
задает семейство прямых, проходящих через точку 
с угловым коэффициентом, равным a. Изобразим эскиз графика функции f (см. рис.) и заметим, что при 
графики не имеют общих точек на промежутке 
графики будут иметь ровно одну общую точку. Если прямая 
тогда 
откуда находим 
Заметим, что на луче 
функция f принимает вид 
и что прямая n вторично пересекает график f в точке 
Касательная к гиперболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение 
или 
имеет единственное решение. Чтобы квадратное относительно 
уравнение имело единственный корень, его дискриминант 
должен быть равен нулю, отсюда 
она действительно лежит между точками 
исходное уравнение будет иметь более двух корней на 
и 
Исследуем уравнение 
отрицательны, а все значения функции 
поэтому уравнение 
откуда получаем 
то есть 
уравнение 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
это уравнения не имеет корней, при 
уравнения имеет единственный корень, равный 1, при 
уравнение имеет два корня.
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень 
тогда и только тогда, когда 
:
и при 
и при 
имеет хотя бы одно решение на интервале 
тогда
Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением 
имеют с единичной окружностью 
точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти (
) и отличные от точек прямой 
задаёт пучок прямых (отмечены оранжевым цветом), проходящих через точку 
У прямой, проходящей через точку 
угловой коэффициент 
хотя бы одно решение, не равное 
Таким образом, уравнение на отрезке 
и 
то есть при 
При 
функция в левой части уравнения отрицательна, и уравнение корней не имеет.
В этом случае получим:
кроме точки, в которой 
то есть кроме точки 
тогда 
кроме значения 
Таким образом, 
кроме 
тогда последнее уравнение примет вид 
В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены оранжевым цветом), проходящих через точку 
угловой коэффициент 
получаем:
или 
Далее заметим, что при условии 
можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде 
Отметим далее, что в силу введённых обозначений 
) и отличные от точек прямой