1.
i
(Соросовская олимпиада 1998−1999) Решите систему уравнений 
Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
(Соросовская олимпиада 1998−1999) Решите систему уравнений
Решите систему уравнений 
Найдите число корней уравнения 
Найдите целую часть числа 
Найти наименьшее натуральное число m, для которого 
Решите систему уравнений 
Решите систему уравнений 
Найдите число корней уравнения 
Выясните, при каких условиях на функцию f выполняется тождественное равенство
для положительных действительных чисел x.
Докажите, что равенства
имеют место для любого 
(Нью-Йорк 1983) Решите систему уравнений 
где a, b, c — целые числа, 
В этих обозначениях система имеет вид
определяет на плоскости кривую, состоящую из двух гипербол и дуги окружности. Если 
при 
то 
а 
и 
Поэтому уравнение [x] + [y] = 1 определяет множество точек 
плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств 
где 
и 
тогда по условию 
откуда 
или 
Рассмотрим эти случаи.
Запишем уравнения системы в виде 
и 
Используя неравенства 
и 
получим: 
тогда из второго уравнения системы 
Уравнения системы можно записать в виде: 
и 
Используем неравенства 
и 
находим: 
то
отсюда 
Имеем: 
во второе уравнение системы: 
Найдем количество целых чисел 
удовлетворяющих условию 
преобразуем данное в условии задачи равенство к виду 
тогда преобразованное равенство примет вид 
откуда следует, что 
Пусть 
тогда преобразованное равенство примет вид 
то 
и 
Но поскольку 
при 
то 
т. е. 
где 
При 
преобразованное равенство 
последнее равенство преобразуется к виду 
и 
Но 
при 
поэтому 
и, следовательно, 
где x — положительные действительные числа, функция f должна быть постоянной на 
имеет место соотношение 
Возведя в квадрат каждую часть соотношения, получаем неравенства вида 
Тогда имеет место соотношение 
Но так как k — натуральное число, то 
—
и 
—
не является натуральным числом. Действительно, если предположить, что 
где m — натуральное число. Из равенства 
следует, что m делится на 2, но в силу того что m — натуральное число, 
должно делиться на 4, что при равенстве 
невозможно. Значит, предположение о том, что 
и 
и 
