Докажите, что равенства
имеют место для любого 
Покажем, что для 
имеет место соотношение
Действительно,
откуда
что равносильно соотношению
или 
Возведя в квадрат каждую часть соотношения, получаем неравенства вида
очевидные при всех натуральных n.
Предположим, что существует натуральное k такое, что 
Тогда имеет место соотношение 
Но так как k — натуральное число, то 
—
и 
—
Заметим также, что 
не является натуральным числом. Действительно, если предположить, что — является квадратом натурального числа, т. е. 
где m — натуральное число. Из равенства 
следует, что m делится на 2, но в силу того что m — натуральное число, 
должно делиться на 4, что при равенстве 
невозможно. Значит, предположение о том, что — натуральное число, неверно.
Так как не существует натуральных чисел, расположенных между числами 
и 
и не является натуральным числом, то существует натуральное число s, для которого выполняется соотношение
Отсюда непосредственно вытекает требуемое равенство
Замечание.
Аналогично можно доказать истинность следующих равенств:
В общем случая для любых натуральных чисел n и m имеют место равенства вида:
