PDF-версии: 
Определите, при каких значениях параметра решение задачи единственно 
Решение. Перепишем исходную систему в виде:
Замечая, что если 
— решение системы, то и 
— также решение этой системы, приходим к выводу: условие 
является необходимым для того, чтобы исходная система имела единственное решение. При система заменяется одним неравенством 
которое имеет единственное решение в случае, когда равен нулю дискриминант квадратного трехчлена 
то есть когда 
Последнее равенство является необходимым условием, которому должен удовлетворять параметр а, чтобы исходная система имела единственное решение.
Осталось проверить, не имеет ли система при найденном значении параметра других решений. Подставим значение 
в исходную систему, получим:
Сложим полученные неравенства, приходим к неравенству 
оно имеет единственное решение 
Складывая неравенства, мы получили неравенство, являющееся следствием системы. При переходе к следствию множество решений может расшириться, поэтому исследуемая система либо имеет единственное решение 
либо вовсе не имеет решений. Проверим подстановкой, является ли найденная пара решением системы:
Оба неравенства обратились в верные числовые равенства. Поэтому найденное значение параметра является искомым.
Ответ: При 
откуда имеем: 
является решением этой системы, либо система не имеет решений. Проверим подстановкой, получим два одинаковых верных неравенства 
Следовательно, при 
система имеет единственное решение.
является решением этой системы, то и пара чисел 
тоже является ее решением. Поэтому если решение единственно, в нем должно выполняться условие 
Тогда из второго уравнения получаем 
то есть 
Подставляя такие x и y в первое уравнение, получаем:
система принимает вид:
Тогда
а тогда из второго уравнения 
система принимает вид:
так и пара 
поэтому ее решение не единственно.
удовлетворяет системе, то и пара 
также ей удовлетворяет. Для второго уравнения это утверждение очевидно, для первого следует из равенств 
и тогда 
получаем систему 
или 
из второго уравнения найдем 
имеем решение 
где 
Значение 
не подходит, поскольку выражение 00 не определено. При 
из второго уравнения получаем, что 
Если 
получим два решения: 
При 
решением является пара 
При 
решений нет.
имеет единственное решение.
являются решениями уравнения одновременно. Поскольку решение единственно, уравнение должно иметь корень 
и действительно имеет единственный корень 
поэтому 
в силу возрастания тангенса на отрезке 
Кроме того 
а потому второе слагаемое в левой части уравнения неотрицательно. Слагаемое 
равно нулю при 
Чтобы система имела единственное решение, она должна иметь решение 
и не иметь других решений.
Кроме того второму уравнению удовлетворяют 
и 
При 
первое уравнение принимает вид 
оно не имеет корней. При 
решением является 
Таким образом, при 
исходная система имеет решение 
при 
Осталось проверить, что при этих значениях параметра система не имеет иных решений. 
получим:
получим:
заключаем, что либо 
либо 
первое и второе уравнение противоречивы. При 
Тем самым при 
и 
имеет единственное решение?
которое имеет единственное решение в случае, когда равен нулю дискриминант квадратного трехчлена 
то есть когда 
Последнее равенство является необходимым условием, которому должен удовлетворять параметр а, чтобы исходная система имела единственное решение. Проверим это. Подставим значение 
в исходную систему:
оно имеет единственное решение 
Осталось проверить, что найденное решение следствия системы является решением и самой системы. Подставляя, получаем:
иметь три корня?
Функция 
четная, ее график симметричен относительно оси ординат, она принимает значение 1 нечетное число раз, только если 
что неверно.
имеет нечетное число корней при любом значении параметра а.
Функция 
что верно. Что и требовалось доказать.
имеет ровно два решения.
то она имеет и решения 
и 
Чтобы система имела ровно два решения, какие-то из пар должны совпадать. 
и 
а второе принимает вид 
что невозможно одновременно. 
то первое уравнение системы принимает вид 
а второе принимает вид 
что также невозможно.
Теперь первое уравнение системы принимает вид 
В этом случае 
откуда получаем единственное возможное значение 
второе уравнение системы, а значит, и вся система решений не имеет. При 
уравнения системы задают прямые:
система имеет четыре решения (координаты точек A, B, C и D), а при 
— два решения (координаты точек M и N).
При этом значении параметра система принимает вид 
или 
Такое значение параметра не подходит по условию. Следовательно, чтобы система имела ровно два решения, необходимо, чтобы 
а потому 
и можно разделить обе части второго уравнения на х. Находим:
получим уравнение 
имеет ровно один положительный корень. Если полученное уравнение имеет два корня, то эти корни одного знака, так как по теореме Виета 
значит, этот случай не подходит. Найдем четверть дискриминанта: 
Полученное выражение обращается в нуль при 
Это решение положительное, поэтому найденное значение параметра искомое. 
полученная система несовместна. При 
первое уравнение задает окружность, которая должна иметь ровно две общие точки с прямыми 
имеет ровно 6 решений.
получим систему
либо 
следовательно, 
Система 
следовательно, 
Получаем систему:
имеет ровно 
решений.
получим систему
следовательно, 
Система 
следовательно, 