Пусть Най­дем мно­го­член, кор­нем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся где За­ме­тим, что

по­лу­ча­ем:

Учи­ты­вая, что на­хо­дим:

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Из­вест­но, что при любом на­ту­раль­ном n сумма вида вы­ра­жа­ет­ся через

По­ло­жим уеди­ним ку­би­че­ский ко­рень и воз­ве­дем в куб, затем сгруп­пи­ру­ем сла­га­е­мый так, чтобы вы­де­лить квад­рат­ный ко­рень, и воз­ве­дем в квад­рат. Этим из­ба­вим­ся от ир­ра­ци­о­наль­ных чисел и по­лу­чим мно­го­член с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми:

Ответ:

Под­ста­вим вме­сто x еди­ни­цу:

зна­че­ние мно­го­чле­на в точке 1 даёт сумму его ко­эф­фи­ци­ен­тов. Сумма ко­эф­фи­ци­ен­тов мно­го­чле­на равна его зна­че­нию в точке 1.

Ответ: 0.

Число a, b и с  — ре­ше­ние урав­не­ния. Вы­ра­же­ния в левой части имеют сте­пень не выше вто­рой, по­сколь­ку ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ют три числа, оно яв­ля­ет­ся тож­де­ством для всех и при­во­дит­ся к виду Таким об­ра­зом, x  — любое число.

Ответ: x  — любое число.

По­сколь­ку

то оста­ток де­ле­ния будет равен 11.

Ответ: 11.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Безу оста­ток от де­ле­ния мно­го­чле­на на дву­член равен зна­че­нию мно­го­чле­на в точке 2, то есть равен