До­ка­жи­те, что сумма углов вы­пук­ло­го n-уголь­ни­ка равна

До­ка­жи­те, что число диа­го­на­лей вы­пук­ло­го n-уголь­ни­ка равно

На плос­ко­сти дано n окруж­но­стей. До­ка­жи­те, что при любом рас­по­ло­же­нии этих окруж­но­стей об­ра­зу­е­мую ими карту можно пра­виль­но рас­кра­сить двумя крас­ка­ми. («Пра­виль­ная» рас­крас­ка озна­ча­ет, что любые две об­ла­сти, гра­ни­ча­щие об общей дуге, имеют раз­ную рас­крас­ку.)

На плос­ко­сти дано n пря­мых об­ще­го по­ло­же­ния (ни­ка­кие две не па­рал­лель­ны и ни­ка­кие три не про­хо­дят через одну точку). До­ка­жи­те, что они делят плос­кость на части.

До­ка­жи­те, что n окруж­но­стей, рас­по­ло­жен­ных на одной плос­ко­сти, делят ее не более чем на части.

На сколь­ко ча­стей делят плос­кость n пря­мых об­ще­го по­ло­же­ния?

До­ка­жи­те, что n пря­мых раз­би­ва­ют плос­кость на об­ла­сти, ко­то­рые могут быть за­кра­ше­ны двумя цве­та­ми так, что все смеж­ные об­ла­сти (об­ла­сти, име­ю­щие общий от­ре­зок пря­мой) будут за­кра­ше­ны раз­ны­ми цве­та­ми.