Вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции.

a) База ин­дук­ции: для тре­уголь­ни­ка эта тео­ре­ма верна, по­сколь­ку сумма его углов равна что со­гла­су­ет­ся с при­ведённой фор­му­лой:

б)  Ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход. Пред­по­ло­жим, что для n-уголь­ни­ка тео­ре­ма до­ка­за­на. По­ка­жем, что в таком слу­чае она спра­вед­ли­ва и для ( )-уголь­ни­ка, то есть сумма его углов равна

Рас­смот­рим про­из­воль­ный -уголь­ник, вы­бе­рем в нем любую вер­ши­ну и со­еди­ним от­рез­ком две со­сед­ние с ней вер­ши­ны. Так как ( )-уголь­ник вы­пук­лый, про­ведённый от­ре­зок раз­де­лил его на n-уголь­ник и тре­уголь­ник. По пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции, ко­то­рое счи­та­ем вер­ным, сумма углов n-уголь­ни­ка равна Тогда сумма углов -уголь­ни­ка равна

Ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход до­ка­зан.

в)  Из пунк­тов а) и б) по прин­ци­пу ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции тео­ре­ма до­ка­за­на для всех вы­пук­лых мно­го­уголь­ни­ков.