Вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции. База ин­дук­ции: одна окруж­ность делит плос­кость на две части.

Шаг ин­дук­ции. Пусть n окруж­но­стей раз­де­ли­ли плос­кость на части. По­ка­жем, что сле­ду­ю­щая окруж­ность может раз­де­лить плос­кость на части, то есть к преды­ду­ще­му раз­би­е­нию до­ба­вит­ся

части.

В самом деле, (n + 1)-я окруж­ность пе­ре­се­ка­ет каж­дую из пер­вых n окруж­но­стей не более чем в двух точ­ках, а всего не более чем в 2n точ­ках. Ровно 2n точки по­лу­чат­ся, если каж­дая пара окруж­но­стей пе­ре­се­ка­ет­ся в двух точ­ках и все эти точки пе­ре­се­че­ния раз­лич­ны, то есть ни­ка­кие три окруж­но­сти не про­хо­дят через одну точку. Так и в самом деле воз­мож­но: возьмём какую-то окруж­ность, а осталь­ные по­лу­чим из неё ма­лы­ми сдви­га­ми в одном на­прав­ле­нии так, чтобы пер­вая и по­след­няя окруж­но­сти пе­ре­се­ка­лись в двух точ­ках.

При­ме­ча­ние. Об­ра­ти­те вни­ма­ние: по­след­няя окруж­ность может пе­ре­се­кать преды­ду­щие и в мень­шем числе точек,  — это за­ви­сит от того, как все эти окруж­но­сти рас­по­ло­же­ны на плос­ко­сти. К при­ме­ру, по­след­няя окруж­ность может быть очень ма­лень­ко­го ра­ди­у­са и пе­ре­се­кать­ся лишь с одной окруж­но­стью, или во­об­ще не пе­ре­се­ка­ет­ся ни с одной. Тогда и плос­кость будет раз­де­ле­на на мень­шее число ча­стей. Выше по­ка­за­но, что   — это имен­но наи­боль­шее ко­ли­че­ство ча­стей, на ко­то­рые n окруж­но­стей могут раз­де­лить плос­кость.