На плоскости дано n окружностей. Докажите, что при любом расположении этих окружностей образуемую ими карту можно правильно раскрасить двумя красками. («Правильная» раскраска означает, что любые две области, граничащие об общей дуге, имеют разную раскраску.)
Воспользуемся методом математической индукции. При 
утверждение верно.
Предположим, что утверждение справедливо для любой карты, образованной n окружностями. Пусть на плоскости задана 
окружность. Удалим какую-то одну из них, получим карту из n окружностей, правильно раскрашенную двумя красками в силу предположения индукции. Восстановим отброшенную окружность, и по одну сторону от нее (например, внутри) изменим цвет каждой области на противоположный (см. рис.). Получим правильно раскрашенную карту из окружности. Индукционный переход доказан, а вместе с ним с учетом проверенной базы индукции доказано и исходное утверждение.