Вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции.

a) База ин­дук­ции: для тре­уголь­ни­ка эта тео­ре­ма верна, по­сколь­ку сумма его углов равна что со­гла­су­ет­ся с при­ведённой фор­му­лой:

б)  Ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход. Пред­по­ло­жим, что для n-уголь­ни­ка тео­ре­ма до­ка­за­на. По­ка­жем, что в таком слу­чае она спра­вед­ли­ва и для ( )-уголь­ни­ка, то есть сумма его углов равна

Рас­смот­рим про­из­воль­ный -уголь­ник, вы­бе­рем в нем любую вер­ши­ну и со­еди­ним от­рез­ком две со­сед­ние с ней вер­ши­ны. Так как ( )-уголь­ник вы­пук­лый, про­ведённый от­ре­зок раз­де­лил его на n-уголь­ник и тре­уголь­ник. По пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции, ко­то­рое счи­та­ем вер­ным, сумма углов n-уголь­ни­ка равна Тогда сумма углов -уголь­ни­ка равна

Ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход до­ка­зан.

в)  Из пунк­тов а) и б) по прин­ци­пу ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции тео­ре­ма до­ка­за­на для всех вы­пук­лых мно­го­уголь­ни­ков.

Вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции.

Вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции. При утвер­жде­ние верно.

Пред­по­ло­жим, что утвер­жде­ние спра­вед­ли­во для любой карты, об­ра­зо­ван­ной n окруж­но­стя­ми. Пусть на плос­ко­сти за­да­на окруж­ность. Уда­лим какую-то одну из них, по­лу­чим карту из n окруж­но­стей, пра­виль­но рас­кра­шен­ную двумя крас­ка­ми в силу пред­по­ло­же­ния ин­дук­ции. Вос­ста­но­вим от­бро­шен­ную окруж­ность, и по одну сто­ро­ну от нее (на­при­мер, внут­ри) из­ме­ним цвет каж­дой об­ла­сти на про­ти­во­по­лож­ный (см. рис.). По­лу­чим пра­виль­но рас­кра­шен­ную карту из окруж­но­сти. Ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход до­ка­зан, а вме­сте с ним с уче­том про­ве­рен­ной базы ин­дук­ции до­ка­за­но и ис­ход­ное утвер­жде­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции.

Вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции. База ин­дук­ции: одна окруж­ность делит плос­кость на две части.

Шаг ин­дук­ции. Пусть n окруж­но­стей раз­де­ли­ли плос­кость на части. По­ка­жем, что сле­ду­ю­щая окруж­ность может раз­де­лить плос­кость на части, то есть к преды­ду­ще­му раз­би­е­нию до­ба­вит­ся

части.

В самом деле, (n + 1)-я окруж­ность пе­ре­се­ка­ет каж­дую из пер­вых n окруж­но­стей не более чем в двух точ­ках, а всего не более чем в 2n точ­ках. Ровно 2n точки по­лу­чат­ся, если каж­дая пара окруж­но­стей пе­ре­се­ка­ет­ся в двух точ­ках и все эти точки пе­ре­се­че­ния раз­лич­ны, то есть ни­ка­кие три окруж­но­сти не про­хо­дят через одну точку. Так и в самом деле воз­мож­но: возьмём какую-то окруж­ность, а осталь­ные по­лу­чим из неё ма­лы­ми сдви­га­ми в одном на­прав­ле­нии так, чтобы пер­вая и по­след­няя окруж­но­сти пе­ре­се­ка­лись в двух точ­ках.

При­ме­ча­ние. Об­ра­ти­те вни­ма­ние: по­след­няя окруж­ность может пе­ре­се­кать преды­ду­щие и в мень­шем числе точек,  — это за­ви­сит от того, как все эти окруж­но­сти рас­по­ло­же­ны на плос­ко­сти. К при­ме­ру, по­след­няя окруж­ность может быть очень ма­лень­ко­го ра­ди­у­са и пе­ре­се­кать­ся лишь с одной окруж­но­стью, или во­об­ще не пе­ре­се­ка­ет­ся ни с одной. Тогда и плос­кость будет раз­де­ле­на на мень­шее число ча­стей. Выше по­ка­за­но, что   — это имен­но наи­боль­шее ко­ли­че­ство ча­стей, на ко­то­рые n окруж­но­стей могут раз­де­лить плос­кость.