РЕШУ УРОК — алгебра

4. Индукция в геометрии

Докажите, что сумма углов выпуклого n-угольника равна $левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка умножить на 180 градусов .$

Докажите, что число диагоналей выпуклого n-угольника равно $дробь: числитель: n в квадрате минус 3n, знаменатель: 2 конец дроби .$

На плоскости дано n окружностей. Докажите, что при любом расположении этих окружностей образуемую ими карту можно правильно раскрасить двумя красками. («Правильная» раскраска означает, что любые две области, граничащие об общей дуге, имеют разную раскраску.)

На плоскости дано n прямых общего положения (никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку). Докажите, что они делят плоскость на $дробь: числитель: n в квадрате плюс n плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби$ части.

Докажите, что n окружностей, расположенных на одной плоскости, делят ее не более чем на $n в квадрате минус n плюс 2$ части.

Решение. Воспользуемся методом математической индукции. База индукции: одна окружность делит плоскость на две части.

Шаг индукции. Пусть n окружностей разделили плоскость на $n в квадрате минус n плюс 2$ части. Покажем, что следующая окружность может разделить плоскость на $левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 2$ части, то есть к предыдущему разбиению добавится

$левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 минус левая круглая скобка n в квадрате минус n плюс 2 правая круглая скобка = 2n$

части.

В самом деле, (n + 1)-я окружность пересекает каждую из первых n окружностей не более чем в двух точках, а всего не более чем в 2n точках. Ровно 2n точки получатся, если каждая пара окружностей пересекается в двух точках и все эти точки пересечения различны, то есть никакие три окружности не проходят через одну точку. Так и в самом деле возможно: возьмём какую-то окружность, а остальные получим из неё малыми сдвигами в одном направлении так, чтобы первая и последняя окружности пересекались в двух точках.

Примечание. Обратите внимание: последняя окружность может пересекать предыдущие и в меньшем числе точек,  — это зависит от того, как все эти окружности расположены на плоскости. К примеру, последняя окружность может быть очень маленького радиуса и пересекаться лишь с одной окружностью, или вообще не пересекается ни с одной. Тогда и плоскость будет разделена на меньшее число частей. Выше показано, что $n в квадрате минус n плюс 2$   — это именно наибольшее количество частей, на которые n окружностей могут разделить плоскость.

На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения?

Докажите, что n прямых разбивают плоскость на области, которые могут быть закрашены двумя цветами так, что все смежные области (области, имеющие общий отрезок прямой) будут закрашены разными цветами.

Ключ