Ре­ше­ние. Пе­ре­несём арк­тан­генс в левую часть:

За­ме­тим, что зна­чит, этот угол лежит в пер­вой чет­вер­ти. Ана­ло­гич­но и вто­рой угол лежит в пер­вой чет­вер­ти: а

Возь­мем синус от левой и пра­вой ча­стей:

Обо­зна­чим тогда:

Имеем:

По­сколь­ку зна­че­ния си­ну­сов оди­на­ко­вы, а углы лежат в одной чет­вер­ти, то ра­вен­ство верно.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что А сумму най­дем, взяв от нее тан­генс:

Имеем Так как лежат в про­ме­жут­ке сумма по­это­му так как имеем Окон­ча­тель­но имеем

Тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, по­это­му

Если в этой за­да­че не ис­поль­зо­вать гео­мет­ри­че­ские со­об­ра­же­ния, можно было бы найти тан­генс суммы, по­ка­зать, что он равен 1 и от­ме­тить, что сумма лежит в I ч., тогда она равна 45°.

Имеем:

тогда т. к. ис­ко­мая сумма лежит на т. е. равна

Ре­ше­ние. Пусть По­сколь­ку числа α и β лежат на от­рез­ке то есть в про­ме­жут­ке мо­но­тон­но­сти ко­си­ну­са, спра­вед­ли­ва рав­но­силь­ность Имеем:

По­сколь­ку зна­че­ния ко­си­ну­сов равны, а ар­гу­мен­ты при­над­ле­жат про­ме­жут­ку мо­но­тон­но­сти ко­си­ну­са, то и ар­гу­мен­ты равны, а зна­чит, ис­ход­ное ра­вен­ство верно.

Ре­ше­ние. Пе­ре­несём по­след­нее сла­га­е­мое в пра­вую часть, по­лу­чим: Про­ве­рим ра­вен­ство

Обе части про­ве­ря­е­мо­го ра­вен­ства лежат на от­рез­ке то есть в про­ме­жут­ке мо­но­тон­но­сти ко­си­ну­са. Ко­си­нус пра­вой части равен Най­дем ко­си­нус левой части. Пусть тогда:

Сле­до­ва­тель­но,

По­сколь­ку зна­че­ния ко­си­ну­сов равны, а их ар­гу­мен­ты при­над­ле­жат про­ме­жут­ку мо­но­тон­но­сти ко­си­ну­са, то и ар­гу­мен­ты равны, а зна­чит, ис­ход­ное ра­вен­ство верно.

Ре­ше­ние. Пе­ре­не­сем в пра­вую часть вы­чи­та­е­мое:

Возьмём ко­си­нус от левой и пра­вой ча­стей:

Пусть тогда:

Найдём ко­си­нус суммы:

По­сколь­ку зна­че­ния и знаки ко­си­ну­сов оди­на­ко­вы, то и углы оди­на­ко­вы, зна­чит, ра­вен­ство верно.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим α левую часть ра­вен­ства и най­дем ее синус:

Уста­но­вим, в какой чет­вер­ти лежит зна­че­ние пра­вой части:

а зна­чит, По­сколь­ку при этом за­клю­ча­ем, что Ис­ход­ное ра­вен­ство верно.