Пусть где a, b, c  — целые числа, В этих обо­зна­че­ни­ях си­сте­ма имеет вид

Скла­ды­вая урав­не­ния си­сте­мы, по­лу­чим

Вы­чи­тая из по­лу­чен­но­го урав­не­ния по­сле­до­ва­тель­но пер­вое, вто­рое и тре­тье урав­не­ния си­сте­мы, имеем

от­ку­да сле­ду­ет, что

Ответ:

Решим си­сте­му гра­фи­че­ским ме­то­дом. Урав­не­ние опре­де­ля­ет на плос­ко­сти кри­вую, со­сто­я­щую из двух ги­пер­бол и дуги окруж­но­сти. Если при то а и По­это­му урав­не­ние [x] + [y] = 1 опре­де­ля­ет мно­же­ство точек плос­ко­сти, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют си­сте­ме не­ра­венств

Эти точки об­ра­зу­ют еди­нич­ные квад­ра­ты. Оче­вид­но, что ука­зан­ные линии имеют две общие точки (0; 1) и (1; 0).

Ответ:

Имеем:

Оце­ним пра­вую часть этого урав­не­ния:

По­лу­чен­но­му по­лу­ин­тер­ва­лу со­от­вет­ству­ют сле­ду­ю­щие зна­че­ния x: 398, 399, 400, 401 и 402. Мы нашли целые части чисел x. А по­сколь­ку нужно было ко­ли­че­ство чисел x, то чисел будет 5 и их дроб­ные части можно не ис­кать.

Ответ: 5.

Оце­ним сла­га­е­мые:

Сле­до­ва­тель­но,

Ис­ко­мая целая часть равна 3.

Ответ: 3.

Пусть где и тогда по усло­вию от­ку­да

Про­вер­ка по­ка­зы­ва­ет, что при k  =  1 и при k  =  2 по­лу­чен­ное не­ра­вен­ство, не вы­пол­ня­ет­ся ни для ка­ко­го на­ту­раль­но­го m, а при k  =  3 имеет ре­ше­ние m  =  1.

Зна­чит, ис­ко­мое число равно 11.

Ответ: 11.