При­ме­ни­те ММИ.

Ответ: все на­ту­раль­ные числа, кроме 3.

Для не­ра­вен­ство верно, по­сколь­ку Счи­тая базой ин­дук­ции, до­ка­жем ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход.

Пред­по­ла­гая вер­ным не­ра­вен­ство для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го числа n, до­ка­жем спра­вед­ли­вость не­ра­вен­ства За­пи­шем его в виде

и вос­поль­зу­ем­ся пред­по­ло­же­ни­ем ин­дук­ции:

Ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход будет до­ка­зан, если до­ка­зать, что вы­пол­не­но не­ра­вен­ство Про­ве­рим это:

По­лу­чен­ное не­ра­вен­ство верно при всех на­ту­раль­ных n таких, что

Ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход до­ка­зан для База ин­дук­ции была про­ве­ре­на для Сле­до­ва­тель­но, пока при­ме­нять прин­цип ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции нель­зя. Не­об­хо­ди­ма новая база ин­дук­ции.

Для не­ра­вен­ство не­вер­но, по­сколь­ку левая часть равна 9, а пра­вая часть равна 10. Для не­ра­вен­ство верно, по­сколь­ку левая часть равна 27, а пра­вая часть равна 21. Ме­то­дом ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции не­ра­вен­ство до­ка­за­но для

Ответ:

1. Обо­зна­чим левую часть не­ра­вен­ства через a_n.

а)  База ин­дук­ции. При не­ра­вен­ство верно.

б)  Ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход. Пусть до­ка­жем, что

За­ме­тим, что

Решим не­ра­вен­ство:

По­лу­чен­ное не­ра­вен­ство верно, ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход до­ка­зан.

в)  Из пунк­тов а) и б) по прин­ци­пу ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции сле­ду­ет, что не­ра­вен­ство до­ка­за­но для всех на­ту­раль­ных чисел n.

2.  Ка­за­лось бы, вто­рое не­ра­вен­ство долж­но до­ка­зы­вать­ся пол­но­стью ана­ло­гич­ны­ми рас­суж­де­ни­я­ми, но... ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход ока­зы­ва­ет­ся не­ве­рен (про­верь­те). Что же де­лать?

За­ме­тим, что вы­пол­не­ние не­ра­вен­ства 1) уже озна­ча­ет вы­пол­не­ние не­ра­вен­ства 2). В этом со­сто­ит так на­зы­ва­е­мый «па­ра­докс ин­дук­ции»: до­ка­за­тель­ство более силь­но­го утвер­жде­ния ино­гда ока­зы­ва­ет­ся проще, чем более сла­бо­го. Объ­яс­не­ние кро­ет­ся в том, что хотя при­хо­дит­ся до­ка­зы­вать более силь­ное за­клю­че­ние, но можно поль­зо­вать­ся и более силь­ным пред­по­ло­же­ни­ем ин­дук­ции.

а)  База ин­дук­ции. Для не­ра­вен­ство верно, по­сколь­ку

б)  Шаг ин­дук­ции. Пред­по­ло­жим, что для не­ко­то­ро­го числа n верно не­ра­вен­ство До­ка­жем, что тогда верно и не­ра­вен­ство

Пре­об­ра­зу­ем левую часть не­ра­вен­ства:

По пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции а по­то­му

Ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход будет до­ка­зан, если по­ка­зать, что пра­вая часть по­лу­чен­но­го не­ра­вен­ства для всех на­ту­раль­ных чисел боль­ше чем Про­ве­рим это:

По­след­нее не­ра­вен­ство верно, что до­ка­зы­ва­ет ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход.

Из пунк­тов а) и б) по прин­ци­пу ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции не­ра­вен­ство до­ка­за­но для всех на­ту­раль­ных чисел.

При­ме­ча­ние.

Этим до­ста­точ­но уни­вер­саль­ным спо­со­бом до­ка­зы­ва­ют­ся мно­гие не­ра­вен­ства. См. на­при­мер, 6148 и 6956.

При­ме­ча­ние.

Не­ра­вен­ство можно до­ка­зать, пре­об­ра­зо­вы­вая фак­то­ри­а­лы. Об­ра­тим вни­ма­ние чи­та­те­ля на то, что